Análise Combinatória.

Olá, pessoal do fórum ! 

Estou com dificuldade em uma questão de matemática e gostaria da ajuda de vocês.

Questão: Um domador deseja colocar alinhados 5 leões e 4 tigres na arena de um circo. Determine o número de maneiras segundo as quais ele pode alinhar estes animais de modo que um tigre não fique ao lado de outro tigre.


O gabarito que possuo não é muito confiável, mas a resposta que está nele é 43.200.




Obrigado desde já !

Deixo aqui minha tentativa de resolução:


• Primeiro alternei os leões e os tigres de modo que os tigres não ficassem juntos.

   L T L T L T L T L - agora eu posso permutar os leões entre si e os tigres também, ficando 4!.5!

• Depois percebi também que posso deixar dois leões juntos e continuar mantendo os tigres separados.

   LL T L T L T L T - agora eu posso permutar novamente os leões ( considerando LL uma única unidade ) e os tigres, ficando 4!.4!.2!

• Também percebi que posso fazer o inverso da combinação LL T L T L T L T, ficando:

  T L T L T L T LL - agora eu posso permutar novamente os leões ( considerando LL uma única unidade ) e os tigres, ficando novamente 4!.4!.2!


 Depois disso somei essas possibilidades que achei, ficando 4!.5! + 4!.4!.2! + 4!.4!.2! = 4!.5! + 2(4!.4!.2!) = 24.120 + 2(24.24.2) = 
2880 + 2.(576.2)= 5184

EDIT: Percebi ainda que é possível deixar 3 leões juntos mantendo os tigres separados, ficando:

  T L T LLL T L T - permutando os leões ( considerando LLL uma única unidade ), fica 4!.3!.3!

Somando isso com 5184 ficando 5184 + 864 = 6048.

EDIT2: Valores em vermelho foram acrescentados agora, pois esqueci de permutar os leões juntos entre si.

O gabarito é 43.200? ou 4320?

Olá, Willian Honorio !

 O gabarito é 43200, porém estou meio desconfiado dele.

EDIT:

Segue abaixo a explicação que consta no meu gabarito:

" Os tigres devem entrar em 6 posições possíveis entre os leões. Logo o primeiro tigre tem seis escolhas possíveis, o segundo tigre cinco, o terceiro tigre quatro e o quarto tigre três e os leões podem permutar suas posições de 5!=120 maneiras. Concluímos que existem 6.5.4.3.120=43200 maneiras de alinhar os animais. " 


 Eu não consegui compreender essa resolução, principalmente no começo, quando diz que os tigres devem entrar em 6 posições possíveis entre os leões. 

 Se isso estiver correto, gostaria da gentileza de alguém para facilitar meu entendimento sobre este raciocínio acima.

 Obrigado !

Temos 5 leões e 4 tigres, queremos dispor os tigres de tal maneira que os tigres não ocupem posições consecutivas. Organizaremos 4 elementos (p) em um subconjunto de um conjunto com 9 elementos (n), utilizarei o 1º Lema de Kaplansky:


 Mas como temos 4 tigres, o número de maneiras que eles permutam-se de tal forma que não ocupam posições consecutivas é: 

Certo, vou rever com mais calma.

Por mais que eu me esforce, só estou apanhando na minha lista de exercício. Isso é bem frustrante .

  Obrigado pela sua resolução !

Eu cheguei à resposta C(6,4) = 15.

Vamos montar a questão assim:

_ T _ T _ T _ T _

Cada underline equivalente a leões, e sob cada underline temos x_{número do underline}. Vamos levar em consideração só os leões, sem mexer os tigres.

É possível montar a seguinte equação: x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅ = 5, em que cada x representa o número de leões que vou botar naquele underline.

Todavia, não podemos deixar que x₂, x₃ ou x₄ sejam nulos, porque senão os tigres ficarão juntos. Vamos somar 1 a cada um deles: x₁ + (x₂ + 1) + (x₃ + 1) + (x₄ + 1) + x₅ = 5.

A equação fica assim: x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅ = 2.

Vendo o número de soluções dessa equação (problema clássico de combinatória), você chegará a C(6,4) = 15.

Vi, agora há pouco, uma resolução de exercício de combinatória que usava exatamente esse método.

Mathematicien, você errou no número de solução inteiras e não negativas da última equação. É C(6,2) ... As três soluções aqui expostas conduzem a resultados muito distantes do gabarito.

Willian Honorio escreveu:Mathematicien, você errou no número de solução inteiras e não negativas da última equação. É C(6,2) ...

Mas C(6,4) = C(6,2). São binomiais complementares.