Algebra mesmo

por mcgiorda Sex 06 maio 2011, 20:50

Por favor, resolvam se possível!

"Se 4x + 2y = 1, prove que x² + y² >= 1/20"

Grato!!

por **abelardo** Sex 06 maio 2011, 21:51

Não sei se assim é válido, mas encontrei algo interessante... você pode até ter feito isso também.

Isolando y em $\dpi{120} 4x + 2y = 1$ , teremos $\dpi{120} y = \frac{1}{2} - 2x$ . Substituí na desigualdade o valor de y e --> $\dpi{120} x^2 + y^2\geq 0$ ---> $\dpi{120} x^2 + \left ( \frac{1}{2}+2x \right )^2 \geq 0$ desenvolvendo-a e podemos formar a desigualdade $\dpi{120} 5 x^2-2 x+\frac{1}{5}\geq 0$ . ----> . Fazendo o estudo dessa inequação do segundo grau, vi que a ''concavidade'' da parábola é voltada para cima e o discriminante é zero. Logo a imagem da inequação sempre será igual ou maior que zero. O Wolfram nos dá o gráfico http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2+%2B%281%2F2+-2x%29^2+-1%2F20%3E%3D0

por mcgiorda Sex 06 maio 2011, 22:00

Creio que seja isso mesmo, pois as raízes são recíprocas, não tendo nenhum valor de x associado com y<0.
O que eu estava tentando fazer é alguma "mancadinha" algébrica utilizando as duas equações, mas a saída é essa mesmo.

Grato!

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