áreas

num círculo de raio 4cm, inscreve-se um triângulo abc. nesse triângulo, os lados bc e ac são, respectivamente, os lados do triângulo equilátero e do quadrado inscritos no mesmo círculo. o diâmetro ef, paralelo ao lado bc, encontra o lado ab em m e o lado ac no ponto n. calcular a área do trapézio mncb. a resposta que tenho é (10 x 3^1/2) - 6 cm²

Concordo com o gabarito pq também cheguei em Sx = 10√3 - 6.
Porém minhas contas, além de longas, ficaram uma bagunça e sem condições de apresentar. Vou tentar adiantar alguma coisa.

Note que a distância entre EF e AC é 2 (metade do raio) -- porque no triângulo equilátero a altura é também mediana, o baricentro é também o circuncentro, e temos a relação 2:1. Aqui já temos a altura do trapézio = 2.

Observe que o ângulo BÂC = 60° = ângulo do triângulo equilátero. Calcule o lado AB (lei dos cossenos no triâng. ABC).

Note que o ângulo A^BC = 45°, referente ao arco subentendido pelo lado do quadrado. Calcule o segmento BM = 2√2 e o segmento AM = AB - BM.

Os triângulos ABC e AMN são semelhantes. Obtenha a razão de semelhança q = AM/AB. Use essa razão para obter MN: q = MN/BC.

De posse de BC, MN e a altura 2, calcule a área do trapézio.

Raul
Veja uma outra alternativa.
Confira meus cálculos antes de prosseguir.

muito obrigado, senhores. eu havia feito da forma como medeiros explicou, porém na hora de fazer a semelhança errei sucessivas vezes nas contas. fiz a semelhança pela altura, ao invés de escolher o lado.