Raízes cúbicas do nº complexo
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Raízes cúbicas do nº complexo
por Liliana Rodrigues Ter 27 Jun 2017, 20:39
O produto das raízes cúbicas do número complexo z = –1 é igual a:
a) (1 –i√3)/4
b) [cos π/3 + isen π/3]
c) (-1/2) + (i√3)/4
d) (1+√2)i/4
e) -1
Alguém pode me ajudar, fazendo um favor??
a) (1 –i√3)/4
b) [cos π/3 + isen π/3]
c) (-1/2) + (i√3)/4
d) (1+√2)i/4
e) -1
Alguém pode me ajudar, fazendo um favor??
Liliana Rodrigues- Estrela Dourada
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Re: Raízes cúbicas do nº complexo
por EsdrasCFOPM Ter 27 Jun 2017, 21:31
Basta usar a 2ª fórmula de moivre para achar as 3 raízes de z e depois multiplicá-las .
z=-1+0i
|z|=1
sen θ = 0/1=0
cos θ = -1/1=-1
θ= π
zk=n√|z|[cos (θ/n+2kπ/n)+i.sen(θ/n+2kπ/n)]
n=3 (raíz cúbica)
zk=1.[cos (π/3+2kπ/3)+i.sen(π/3+2kπ/3)]
k=0
z0=1.[cos (π/3+2.0.π/3)+i.sen(π/3+2.0.π/3)]
z0=cos(240)+isen(240)
z0=-cos(60)-isen(60)
z0=-1/2-i√3/2
k=1
z1=1.[cos (π/3+2.1.π/3)+i.sen(π/3+2.1.π/3)]
z1=cos (π)+i.sen(π)
z1=-1
k=2
z2=1.[cos (π/3+2.2.π/3)+i.sen(π/3+2.2.π/3)]
z2=cos(300)+isen(300)
z2=cos(60)-isen(60)
z0=1/2-i√3/2
(-1/2-(√3)i/2).(-1).(1/2-(√3)i/2) = (-1).[(-1/2).(1/2)+(-1/2)(-i√3/2)+(-i√3/2).(1/2)+(-i√3/2).(-i√3/2)] =
(-1).[-1/4+0-3/4)] =1
z=-1+0i
|z|=1
sen θ = 0/1=0
cos θ = -1/1=-1
θ= π
zk=n√|z|[cos (θ/n+2kπ/n)+i.sen(θ/n+2kπ/n)]
n=3 (raíz cúbica)
zk=1.[cos (π/3+2kπ/3)+i.sen(π/3+2kπ/3)]
k=0
z0=1.[cos (π/3+2.0.π/3)+i.sen(π/3+2.0.π/3)]
z0=cos(240)+isen(240)
z0=-cos(60)-isen(60)
z0=-1/2-i√3/2
k=1
z1=1.[cos (π/3+2.1.π/3)+i.sen(π/3+2.1.π/3)]
z1=cos (π)+i.sen(π)
z1=-1
k=2
z2=1.[cos (π/3+2.2.π/3)+i.sen(π/3+2.2.π/3)]
z2=cos(300)+isen(300)
z2=cos(60)-isen(60)
z0=1/2-i√3/2
(-1/2-(√3)i/2).(-1).(1/2-(√3)i/2) = (-1).[(-1/2).(1/2)+(-1/2)(-i√3/2)+(-i√3/2).(1/2)+(-i√3/2).(-i√3/2)] =
(-1).[-1/4+0-3/4)] =1
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