Polinômios - Olimpiada Americana

por fernandobvm Sáb 24 Jun 2017, 19:04

Sabendo que a,b e c são as raízes da equação x^3 + 3x^2 + 4x -11 =0 e a+b, b+c, c +a são raízes da equação x^3 + rx^2 + sx + t = 0. Calcule o valor de t.

A)23
B)-23
C)11
D)-11
E)7

por renan2014 Sáb 24 Jun 2017, 20:55

Teremos que t = $(a + b) (b + c) (c + a) = a^2 b + a^2 c + a b^2 + 2 a b c + a c^2 + b^2 c + b c^2$

Sabe-se que $(a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a+b)(a+c)(b+c)$ .

Portanto, $3t = (a+b+c)^3 - (a^3+b^3+c^3)$ .

Acho que daí tu consegue desenvolver. Eu usaria polinômios simétricos pegar a³+b³+c³ em função das relações de Girard, tirando da primeira equação que ele deu.

por **fantecele** Dom 25 Jun 2017, 11:17

Uma outra forma é perceber que:
a + b = a + b + c - c = -3 - c
b + c = b + c + a - a = -3 - a
c + a = c + a + b - b = -3 - b
Com isso, temos que as raízes desse outro polinômio serão da forma "-3 - x", agora basta fazer uma transformada aditiva.

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