Traço de matrizes

por **leozinho** Seg 29 maio 2017, 17:23

Sejam X e Y duas matrizes reais de ordem 3x3. Se tr(X) traço de X e tr(Y) traço de Y.
Indique V ou F para as afirmações:
1) tr(matriz transposta X) = tr(X)
2) Se X é inversível, então o tr(X) é diferente de zero
3) tr(X + kY) = tr(X) + k.tr(Y), sendo k um número real.

Obs: tr(X) =soma dos elementos da diagonal principal de X.
tr(Y) =soma dos elementos da diagonal principal de Y.

por **Willian Honorio** Seg 29 maio 2017, 19:22

Traço é a soma dos elementos da diagonal principal.

1) Verdadeira, justificável por propriedade. Verificando:

$X=\begin{bmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{31} \\ a_{21} &a_{22} &a_{32} \\ a_{31}&a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}\\Tr(X)=a_{11}+a_{22}+a_{23}=\sum_{k=1}^{3}a_{kk}\\X^{t}=\begin{bmatrix} a_{11} &a_{21} &a_{31} \\ a_{12}&a_{22} &a_{32} \\ a_{31}& a_{32} &a_{33} \end{bmatrix}\\Tr(X^{t})=a_{11}+a_{22}+a_{23}=\sum_{k=1}^{3}a_{kk}\\Tr(X)=Tr(X^{t})$

Isso aqui não serve como prova, pois deveríamos generalizar para uma matriz mn, mas como ele pede uma 3x3...

2) Falsa, não se pode inferir. A condição para existir inversa é que o determinante da matriz seja diferente de zero.

3) Verdadeira, justificável por propriedade. Verificando:

$Y=\begin{bmatrix} b_{11} &b_{12} &b_{13} \\ b_{21} & b_{22} &b_{23} \\ b_{31} &b_{32} & b_{33} \end{bmatrix}\\\lambda .Y=\begin{bmatrix} \lambda b_{11} &\lambda b_{12} &\lambda b_{13} \\ \lambda b_{21} & \lambda b_{22} &\lambda b_{23} \\ \lambda b_{31} &\lambda b_{32} & \lambda b_{33} \end{bmatrix}\\\\Tr(\lambda .Y)=\lambda .\sum_{k=1}^{3}b_{kk}\\\text{pois:}\\\sum_{k=1}^{n}c.k=c.\sum_{k=1}^{n}k\\Tr(X+\lambda Y)=\sum_{k=1}^{3}a_{kk}+\lambda \sum_{=1}^{3}b_{kk}$

$X+\lambda .Y=\begin{bmatrix} a_{11}+\lambda b_{11} &a_{12} +\lambda b_{12} &a_{13} +\lambda.b_{13} \\ a_{21}+\lambda b_{21}&a_{22}+\lambda.b_{22} &a_{23}+\lambda .b_{23} \\ a_{31}+\lambda .b_{31}&a_{32} +\lambda .b_{32} &a_{33} +\lambda .b_{33} \end{bmatrix}\\Tr(X+\lambda Y)=\sum_{k=1}^{3}a_{kk}+\lambda .\sum_{k=1}^{3}b_{kk}=Tr(X)+\lambda .Tr(Y)$