(IME-77) Mostre que a equação possui todas as

por richardkloster Sex 19 maio 2017, 01:20

(IME-77) Seja a,b ∈ ℝ+. Mostre que a equação:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{x-a}+\frac{1}{x-b}=0$

possui todas suas raízes reais, sendo uma no intervalo ]-b;0[ e a outra no intervalo ]0;a[

por **Elcioschin** Sex 19 maio 2017, 11:14

Vou começar

1/x + 1/(x - a) + 1/(x - b) = 0 ---> *x.(x - a).(x - b):

(x - a).(x - b) + x.(x - b) + x.(x - a) = 0 ---> 3.x² - 2.(a + b).x + a.b = 0

∆ = [-2.(a + b)]² - 4.3.(a.b) ---> ∆ = 4.(a² - a.b + b²)

Análise do sinal de (a² - a.b + b²):

a³+ b³ = (a + b).(a² - a.b + b²) --->

Pelo enunciado a > 0 e b > 0 ---> a + b > 0 e a³ + b³ > 0

Logo, (a² - a.b + b²) > 0 ---> ∆ > 0 ---> Raízes reais

Falta analisar o intervalo das raízes.

por richardkloster Sex 19 maio 2017, 22:47

Elcioschin, eu não entendi de onde saiu o:

(x - a).(x - b) + x.(x - b) + x.(x - a)

por **Elcioschin** Sex 19 maio 2017, 23:04

Eis o que diz a 1ª linha da minha solução:

1/x + 1/(x - a) + 1/(x - b) = 0 ---> *x.(x - a).(x - b):

x.(x - a). (x - b) é o mmc dos denominadores das frações.
O símbolo * significa "multiplique por" e é para ser utilizado nos dois membros.