Dúvida - Desigualdade trigonométrica

Para a seguinte desigualdade trigonométrica:

cos(x)>\dfrac{\sqrt{2}}{2}


O gabarito no meu livro deu : 

-\dfrac{\pi}{4}+2k\pi


Minha dúvida é a seguinte,

Nesse caso como o intervalo do ângulo passa pelo o ponto inicial 0º/360º, o correto não seria dividir em dois intervalos? ou eu posso fazer como colocou o gabarito? 

Ou seja, o intervalo correto não seria:

Desenhe o círculo trigonométrico e marque os ângulos pi/4 (45º) e - pi/4 (-45º)

No 1º quadrante devemos ter x < pi/4
No 4º quadrante devemos ter x > - pi/4

A solução na 1ª volta seria - pi/4 < x < pi/4

Para uma solução geral com k voltas, basta somar 2.k.pi nas duas extremidades da inequação:

- pi/4 + 2.k.pi < x < pi/4 + 2.k.pi

Obrigado pela resposta mestre !


Dúvidas..

"No 1º quadrante devemos ter x < pi/4
No 2º quadrante devemos ter x > - pi/4"


No lugar do "2º", seria o 4º, certo?


E só pra complementar a minha dúvida.. 

Ângulos que ficam entre o 0º/360º, como no caso da questão que acabei de colocar. O correto não deveria ter intervalos separados por exatamente estarem no começo e fim do ângulo? Ou não tem essa necessidade? eu posso simplesmente considerar esse intervalo como foi colocado pelo mestre:

- pi/4 + 2.k.pi < x < pi/4 + 2.k.pi    ???


@Edit

Afim de amarrar isso logo, queria explicar o porque da dúvida.

Estou estudando agora desigualdade trigonométrica por conta própria, e na internet em geral, vejo que quando o ângulo está no intervalo que passa entre 0º/360º, o correto é dividir em dois intervalos.

Colocarei uma imagem para ilustrar isso.




O intervalo que o mestre colocou é o mesmo que encontro em livros didáticos, mas eu queria saber se eu posso usar os 2, ou se só um deles é correto.

Perdoem-me a insistência no assunto...

Foi erro meu de digitação. correto é 4º quadrante (já editei).

O caso que você apresentou não tem nada a ver com a presente questão. Desenhe a figura que você verá porque.

Muito obrigado pelas respostas mestre!


Eu colocando essa imagem acabei gerando mais confusão..

Creio que agora vai ficar claro minha dúvida. Vamos então considerar a questão que eu coloquei em minha primeira postagem:

cos(x)>\dfrac{\sqrt{2}}{2}


E seguindo o mesmo raciocínio do sr, temos.




Portanto temos o intervalo

- pi/4 + 2.k.pi < x < pi/4 + 2.k.pi



Perfeito, isso pra mim faz sim todo o sentido e eu entendi esse ponto. 

A minha dúvida no caso, é que ao estudar isso em vários sites diferentes, eu vejo todos eles dizendo que em casos que o intervalo que nos convém, esteja passando pelo ângulo 0º/360º, o intervalo acima não seria o correto. 

O correto seria fazer o colocado abaixo:



Ou seja, somar 2pi a determinação negativa como foi feito na imagem acima, para que possamos considerar a positiva. E depois separar em dois intervalos pelo fato de estarem passando entre 0º/360º

Teríamos:


x < pi/4 + 2.k.pi  ou  x > 7pi/4 + 2.k.pi


Ou seja, separarmos em dois intervalos.


Resumindo minha dúvida,


Devemos fazer como no primeiro caso, ou devemos separar em dois intervalos como no segundo, ou os dois casos são aceitos?

Tanto faz: o ângulo -pi/4 é o mesmo ângulo que 7.pi/4

Perfeito. Obrigado mestre!