Desigualdade trigonométrica

por nandofab Qua 01 Abr 2015, 02:54

Sejam alfa, beta e gama ângulos internos de um triângulo. Mostre que $sen\frac{\alpha }{2}sen\frac{\beta }{2}sen\frac{\gamma }{2}$ $\leqslant \frac{1}{8}$

por **Carl Sagan** Qui 02 Abr 2015, 22:23

Usando $MA \geq MG$ , temos:
$\frac{1}{3} \cdot (sen\frac{\alpha }{2}+sen\frac{\beta }{2}+sen\frac{\gamma }{2}) \geq \sqrt[3]{sen\frac{\alpha }{2} \cdot sen\frac{\beta }{2} \cdot sen\frac{\gamma }{2}}\\$

Da desigualdade de Jensen para funções côncavas (sen(x) é côncava no intervalo [0, pi]):
$\frac{m_1f(x_1)+m_2f(x_2)+m_3f(x_3)}{m_1+m_2+m_3} \leq f (\frac{m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3}{m_1+m_2+m_3})\\$

Encontramos:
$\frac{1}{3} \cdot (sen\frac{\alpha }{2}+sen\frac{\beta }{2}+sen\frac{\gamma }{2}) \leq sen(\frac{\alpha+\beta+\gamma}{6})\\$

Porém,
$\alpha+\beta+\gamma=\pi\\ \frac{1}{3} \cdot (sen\frac{\alpha }{2}+sen\frac{\beta }{2}+sen\frac{\gamma }{2}) \leq sen (\frac{\pi}{6})\\ \frac{1}{3} \cdot (sen\frac{\alpha }{2}+sen\frac{\beta }{2}+sen\frac{\gamma }{2}) \leq \frac{1}{2}$

Voltando na desigualdade inicial (MA >= MG), e substituindo o encontrado, obtemos:
$\frac{1}{2} \geq \sqrt[3]{sen\frac{\alpha }{2} \cdot sen\frac{\beta }{2} \cdot sen\frac{\gamma }{2}}\\ \frac{1}{8} \geq sen\frac{\alpha }{2} \cdot sen\frac{\beta }{2} \cdot sen\frac{\gamma }{2}\\ \\ \boxed{sen\frac{\alpha }{2} \cdot sen\frac{\beta }{2} \cdot sen\frac{\gamma }{2} \leq \frac{1}{8}} \text{C.Q.D}$