Triangulos 3

De um ponto qualquer, traçam-se AO',OB' e OC' respectivamente perpendiculares aos lados BC,CA e AB de um triangulo ABC. Demonstrar que AB' ²+BC' ²+CA' ²=AC' ²+BA' ²+CB' ²

Sendo O um ponto interno ao triângulo em posição qualquer que traça perpendiculares aos lados do triângulo, podemos traçar então 3 novos segmentos de cada vértice ao ponto O.

Assim, teremos 6 triângulos retângulos. 

A'OC: OA'² + CA'² = OC²
B'OC: OB'² + CB'² = OC²
B'OA: AB'² + OB'² = AO²
C'OA: AC'² + OC'² = AO²
C'OB: OC'² + BC'² = OB²
A'OB: OA'² + BA'² = OB²

Temos 3 novas equações se igualarmos dois a dois.

OA'² + CA'² = OB'² + CB'²
AB'² + OB'² = AC'² + OC'²
OC'² + BC'² = OA'² + BA'²

Subtraindo, da segunda, a primeira:

AB'² + OB'² - OB'² - CB'² = AC'² + OC'² - OA'² - CA'²
AB'² - CB'² = AC'² + OC'² - OA'² - CA'²

Somando então com a terceira, temos que:

AB'² - CB'² + OC'² + BC'² = OA'² + BA'² + AC'² + OC'² - OA'² - CA'²
AB'² - CB'² + BC'² = BA'² + AC'² - CA'²
AB'² + BC'² + CA'² = BA'² + AC'² + CB'²

PROVADO!