Determinante

por EstudanteCiencias Sáb 01 Abr 2017, 11:35

Provar que $\begin{vmatrix} cot(A/2) &cot(B/2) &cot(C/2) \\ a&b &c \\ 1&1 &1 \end{vmatrix}=0$ sendo A,B,C angulos de um triangulo e a,b,c os lados opostos, respectivamente, aos mesmos angulos.

por **fantecele** Sáb 01 Abr 2017, 14:18

$cotg{\frac{A}{2}}=\frac{cos\frac{A}{2}}{sen\frac{A}{2}}(I)\\senA=2sen\frac{A}{2}cos\frac{A}{2}\rightarrow sen\frac{A}{2}=\frac{senA}{2cos\frac{A}{2}}(II)\\\text{Substituindo (II) em (I):}\\cotg\frac{A}{2}=\frac{2cos^2\frac{A}{2}}{senA}(III)\\cosA=2cos^2\frac{A}{2}-1\rightarrow 2cos^2\frac{A}{2}= cosA+1(IV)\\\text{Agora, substituindo (IV) em (III):}\\cotg\frac{A}{2}=\frac{1+cosA}{senA}$

Utilizando das lei do cosseno e do seno e considerando o raio do círculo circunscrito ao triângulo como sendo R, substituindo os valores na relação encontrada acima iremos obter:

$cotg\frac{A}{2}=\frac{(b+c-a)(a+b+c)2R}{2abc}\\\text{Analogamente para cotg(B/2) e cotg(C/2)}\\cotg\frac{B}{2}=\frac{(a+c-b)(a+b+c)2R}{2abc}\\cotg\frac{C}{2}=\frac{(a+b-c)(a+b+c)2R}{2abc}$

Desenvolvendo o determinante dado iremos obter:

$bcotg\frac{A}{2}+ccotg\frac{B}{2}+acotg\frac{C}{2}- acot\frac{B}{2}-ccotg\frac{A}{2}-bcotg\frac{C}{2}$

Agora substituindo os valores encontrados acima e desenvolvendo um pouco você irá encontrar o determinante igual a zero.
Qualquer dúvida é só perguntar.

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