Cálculo de integral dupla

por **alansilva** Qua 15 Fev 2017, 23:41

Use integral dupla para calcular o volume do sólido no primeiro octante, delimitado pelos gráficos das equações z=4-x², x+y=4, x=0, y=0 e z=0.

por **gabrieldpb** Sáb 18 Fev 2017, 02:15

S é a região no plano xOy que delimita do domínio a ser integrado. x varia entre 0 e 4-y; e y, por sua vez, varia entre 0 e 4.

\iint_Sf(x,y)dxdy=\int_{0}^{4}\int_{0}^{4-y} 4-x^2dxdy

\int_{0}^{4} \left [4x-\frac{x^3}{3} \right ]_{0}^{4-y}dy

\int_{0}^{4}4(4-y)-\frac{(4-y)^3}{3}dy

\int_{0}^{4}16-4y-\frac{(64-48y+12y^2-y^3)}{3}dy

\int_{0}^{4}\frac{-16 + 36 y - 12 y^2 + y^3}{3}dy

\left[-\frac{16y}{3}+6y^2-\frac{4y^3}{3} + \frac{y^4}{12}\right ]_{0}^{4}=\frac{32}{3}

É essa a resposta?

por **mauk03** Sáb 18 Fev 2017, 14:26

gabrieldpb acredito que vc tenha errado na hora de escolher o domínio de integração. Se vc observar a base do sólido no plano xy verá que a variação de x depende de duas regiões quando y tem a variação numérica (0≤y≤4), uma região onde x tem a variação 0≤x≤2 (quando 0≤y≤2, região retangular na imagem abaixo) e outra região onde x tem a variação 0≤x≤4-y (quando 2≤y≤4, região triangular na imagem abaixo).
Cálculo de integral dupla Sem_ty10

por **mauk03** Sáb 18 Fev 2017, 14:35

Acredito que o correto seja escolher a variação numérica de x (0≤x≤2) para termos uma única variação para y (0≤y≤4-x). Assim:
$V=\int_{0}^{2}\int_{0}^{4-x}(4-x^2)dydx=\int_{0}^{2}\left [ 4y-x^2y \right ]_{0}^{4-x}dx$ $=\int_{0}^{2}(16-4x-4x^2+x^3)dx=\left [ 16x-2x^2-\frac{4x^3}{3}+\frac{x^4}{4} \right ]_{0}^{2}=\frac{52}{3}$

por **gabrieldpb** Sáb 18 Fev 2017, 14:43

mauk03 escreveu:gabrieldpb acredito que vc tenha errado na hora de escolher o domínio de integração. Se vc observar a base do sólido no plano xy verá que a variação de x depende de duas regiões quando y tem a variação numérica (0≤y≤4), uma região onde x tem a variação 0≤x≤2 (quando 0≤y≤2, região retangular na imagem abaixo) e outra região onde x tem a variação 0≤x≤4-y (quando 2≤y≤4, região triangular na imagem abaixo).

Olá mauk03, veja que na hora de eu definir a região S, eu levei em conta as duas áreas que você mencionou. Você basicamente dividiu a integração de S em um quadrado (BCDG) e em um triângulo retângulo (ABG), sendo que eu preferi considerar logo todo o trapézio reto (ABCD). O que acontece é que você vai desmembrar a integral dupla em duas, que dá no mesmo que faze tudo de uma vez.

Como referência, veja esta lista de exercícios que eu achei:
http://www.professores.uff.br/paulab/lista01.pdf

Na página 14, exercício 5, tem um exercício muito parecido com esse.

Abraço!

por **mauk03** Sáb 18 Fev 2017, 14:48

Sim, porém quando resolvo essa integral desmembrando ela em duas (conforme as regiões da imagem) obtenho como resultado 52/3.

por **gabrieldpb** Sáb 18 Fev 2017, 14:50

mauk03 escreveu:Acredito que o correto seja escolher a variação numérica de x (0≤x≤2) para termos uma única variação para y (0≤y≤4-x). Assim:
$V=\int_{0}^{2}\int_{0}^{4-x}(4-x^2)dydx=\int_{0}^{2}\left [ 4y-x^2y \right ]_{0}^{4-x}dx$ $=\int_{0}^{2}(16-4x-4x^2+x^3)dx=\left [ 16x-2x^2-\frac{4x^3}{3}+\frac{x^4}{4} \right ]_{0}^{2}=\frac{52}{3}$

Besteira, esquece! Tá certo o que você fez.

Laughing

por **mauk03** Sáb 18 Fev 2017, 14:54

Observe que no exemplo desse pdf a região é um triângulo, que na hora de integrar vai ter uma única região (consequentemente uma única variação para x e y), já neste exemplo temos um trapézio que a depender da escolha de integração pode ter duas regiões de integração.

por **gabrieldpb** Sáb 18 Fev 2017, 14:56

mauk03 escreveu:Observe que no exemplo desse pdf a região é um triângulo, que na hora de integrar vai ter uma única região (consequentemente uma única variação para x e y), já neste exemplo temos um trapézio que a depender da escolha de integração pode ter duas regiões de integração.

Boa jovem! Excelente!