teoria dos números

por bomfranco Seg 05 Dez 2016, 13:54

Prove que se a e Z e ímpar,então o restoda divisão de a² por 8 é 1

por **Elcioschin** Seg 05 Dez 2016, 14:06

a ∈ Z ---> a é ímpar

a = 2.k + 1 ---> k ∈ Z

a²/8 = (2.k + 1)²/8 = (4.k² + 4.k + 1)/8 = (4.k² + 4.k)/8 + 1/8 = (k² + k)/2 + 1 = k.(k + 1)/2 + 1

k e k+1 são dois números sequenciais:

1) Se k é ímpar (k + 1) é par, logo k.(k + 1) é par e k.(k + 1)/2 é inteiro ---> O resto é 1

2) Se k par (k + 1) é ímpar, logo k.(k + 1) é par e k.(k + 1)/2 é inteiro ---> O resto é 1

por **ivomilton** Seg 05 Dez 2016, 14:10

bomfranco escreveu:Prove que se a e Z e ímpar,então o restoda divisão de a² por 8 é 1

Boa tarde, bomfranco.

Se a for ímpar, terá formato igual a:
2k + 1.

a² = (2k+a1)² = 4k² + 4k + 1 = 4(k²+k) + 1 = 4 * k(k+1) + 1

Ora, o produto de dois números consecutivos (k) e (k+1) é sempre par, pois ímpar * par = par * ímpar = par.
Logo, podemos escrever:
k(k+1) = 2m

a² = 4*k(k+1) + 1= 4*2m + 1 = 8m + 1

Um abraço.