Teoria dos números
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Teoria dos números
por João Gabriel1 Sex 10 Jul 2020, 19:52
Prove que para nenhum número n natural, 2^n+1 é um cubo(Sugestão da apostila:faça por contradição)
João Gabriel1- Padawan
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Re: Teoria dos números
por Elcioschin Sex 10 Jul 2020, 22:26
Para n = 0 --> 20 + 1 = 2 ---> não é cubo perfeito
Para n = 1 --> 21 + 1 = 3 ---> não é cubo perfeito
Logo, devemos ter n > 1 e 2n é sempre par
2n + 1 = x³ ---> 2n = x³ - 1 ---> 2n = (x - 1).(x² + x + 1)
Para x = par ---> (x - 1) é ímpar e (x² + x + 1) é ímpar ---> Impossível
Falta provar para x ímpar.
.
Para n = 1 --> 21 + 1 = 3 ---> não é cubo perfeito
Logo, devemos ter n > 1 e 2n é sempre par
2n + 1 = x³ ---> 2n = x³ - 1 ---> 2n = (x - 1).(x² + x + 1)
Para x = par ---> (x - 1) é ímpar e (x² + x + 1) é ímpar ---> Impossível
Falta provar para x ímpar.
.
Última edição por Elcioschin em Ter 14 Jul 2020, 09:17, editado 1 vez(es)
Elcioschin- Grande Mestre
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João Gabriel1- Padawan
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Re: Teoria dos números
por Ashitaka Seg 13 Jul 2020, 20:47
Elcioschin escreveu:Para n = 0 --> 20 + 1 = 2 ---> não é cubo perfeito
Para n = 1 --> 21 + 1 = 3 ---> não é cubo perfeito
Logo, devemos ter n > 1 e 2n é sempre par
2n + 1 = x³ ---> 2n = x³ - 1 ---> 2n = (x - 1).(x² + x + 1)
Para x = par ---> (x - 1) é ímpar e (x² + x + 1) é ímpar ---> Impossível
Falta provar para x ímpar.
.
Elcio, foi isso que quis dizer?
Ashitaka- Monitor
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Re: Teoria dos números
por Elcioschin Seg 13 Jul 2020, 21:53
Exatamente Ashitaka. Distração minha!
Quem sabe assim, para x ímpar:
Para n > 0, 2n é múltiplo de 2 e termina em 2, 4, 8, 16, ....
Neste caso (x - 1) deve ser do formato de 2n ---> x = 3, 5, 9, 15, ...
E o mesmo deve acontecer para x² + x + 1 ---> 13, 31, 91, 231, .....
Quem sabe assim, para x ímpar:
Para n > 0, 2n é múltiplo de 2 e termina em 2, 4, 8, 16, ....
Neste caso (x - 1) deve ser do formato de 2n ---> x = 3, 5, 9, 15, ...
E o mesmo deve acontecer para x² + x + 1 ---> 13, 31, 91, 231, .....
Elcioschin- Grande Mestre
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