Triangulo com mediana

por Nectar Sex 25 Nov 2016, 23:26

Seja ABC um triângulo qualquer com medianas AD, BE e CF. Demonstre que →AD+→BE+→CF=→0

por rhoudini Sex 25 Nov 2016, 23:54

Vou usar notação vetorial em negrito, ok? O que estiver em negrito serão vetores.

Triangulo com mediana DQts5Or

AD = AE + EC + CD = AF + FB + BD
BE = BD + DC + CE = BF + FA + AE
CF = CD + DB + BF = CE + EA + AF

Somando as equações:
Todos que tiverem letras iguais com posições trocadas se anulam (AE anula EA, por exemplo)

2(AD + BE + CF) = AE + CE + BD + CD + AF + BF

Mas AE e CE tem mesmo módulo e sentidos opostos, logo se anulam. O mesmo vale para BD e CD, AF e BF

2(AD + BE + CF) = 0
AD + BE + CF = 0