módulo máximo complexo

por gabriel93 Dom 23 Out 2016, 07:53

Seja S o lugar geométrico do plano complexo, dos números complexos Z que satisfazem as seguintes condições
|z-1-i | ≤1 1 ≤Re(z)≤ 2
determine a parte real do numero complexo z que possui modulo máximo,isto é, Re(|z| max)

Resposta $\frac{\sqrt{3+2\sqrt{2}}}{\sqrt{2}}$

Obrigado

por **JoaoGabriel** Dom 23 Out 2016, 22:30

Podemos fazer algumas considerações e desenvolver a expressão dada:

$\\z = a + bi\therefore z - 1 - i= (a - 1) + (b-1) = z_2\\\\|z_2| \leq1\therefore \mathbf{(a-1)^2+(b-1)^2\leq 1}$

O que a expressão em negrito significa? É exatamento o interior de uma circunferência no plano complexo, de raio 1, centrada no ponto (1,1). Um bom desenho pode facilitar a compreensão, e possibilitar a percepção do complexo de módulo máximo.

módulo máximo complexo Capture

Portanto:

$\\\rho_{max}=1+\sqrt2\therefore Re(z)=(1+\sqrt2)\times \cos(45\degree) = \frac{2+\sqrt2}{2}$

Este resultado é exatamente igual ao gabarito, basta algumas manipulações algébricas para se obter o resultado.

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