(Unirio)-Pentágono

é um pentágono regular. , e são perpendiculares como mostra a figura.Seja o centro do pentágono.Se , então é igual a :



a)
b)
c)
d)
e)

Sejam

R = raio do círculo circunscrito ao pentágono ABCDE
L = lado do mesmo pentágono

CÔD = 360º/5 ----> CÔD = 72º ----> CÔP = 36º

cos36º = (\/5 + 1)/4 ----> sen36º = \/[(5 - \/5)/8]

No triângulo retângulo CPO ----> OC*cosCÔP = OP ----> R*cos36° = 1 ----> R = 1/cos36º

OC*sen36° = PC ----> R*sen36º = L/2 ----> L = 2*R*sen36 ----> L = 2*sen36º/cos36º ---> L = 2*tg36º

A^BC = 108º ----> A^BQ = 72º ----> QÂB = 18º

AR = AQ = AB*cos18º ----> AR = AQ = L*cos18º ----> AR = AQ = 2*tg36º*cos18º

Lembre-se que cos²18º = 1 + cos36º ----> cos18º = \/(1 + cos36º)

AO + AQ + AR = R + 2*AR = 1/cos36º + 4*tg36º*cos18º

Agora é só fazer conta

Obrigado mestreElcioschin pela solução.