Quais armários ficarão abertos?

por **arimateiab** Seg 21 Fev 2011, 18:00

Numa escola, há um corredor com 1000 armários numerados de 1 a 1000, inicialmente todos fechados. Mil alunos numerados de 1 a 1000, passam pelo corredor. O aluno de número K reverte o estado de todos os armários cujos números são múltiplos de K, por exemplo, o aluno de número 4 mexe nos armários de números 4, 8, 12, ..., abrindo os que se encontram fechados e fechando os que encontram-se abertos. Ao final, depois da passagem do milésimo aluno, quais armários ficarão abertos?

Obrigado Smile

:LS:

por **arimateiab** Qua 23 Fev 2011, 20:30

up

:SW1:

por **Euclides** Qua 23 Fev 2011, 21:48

Olá arimateiab,

acho que ficarão abertos todos os armários que não sejam múltiplos de números primos, mas isso é só um palpite diante de alguns números que testei.

por **Euclides** Qua 23 Fev 2011, 23:19

Encontrei a solução:

ficarão abertos todos os armários que forem mexidos um número ímpar de vezes (ABRE-FECHA-ABRE), isto quer dizer todos os armários cujos números tiverem um número ímpar de divisores. O número de divisores de um número N é dado por:

$q=(\alpha+1)(\beta+1)(\gamma+1)....$

sendo $\alpha,\;\beta,\;\gamma....$ os expoentes de seus fatores primos.

para que q seja ímpar é preciso que esses expoentes sejam todos pares o que significa que o número N deve ser quadrado perfeito. Portanto, ficarão abertos os armários de números:

$\\1\leq {x^2}\leq1000\\\\1^2,2^2,3^2,4^2....31^2\leq 961\\\\1,4,9,16,....,961$

por **arimateiab** Qui 24 Fev 2011, 12:52

Hmmmm...

Essa questão me tirou do sério hahaha
Entendi Euclides, Obrigado =]

por Davidtkd Dom 19 maio 2013, 23:59

e se fosse 100?

por **Euclides** Seg 20 maio 2013, 00:10

Davidtkd escreveu:e se fosse 100?

Faça a mesma coisa até 100.

por v_martins02 Ter 20 Out 2015, 22:24

Euclides, não consigo visualizar sua resposta completa, as principais partes não tenho acesso, já estou logado no site...O que pode ser?

por **Euclides** Ter 20 Out 2015, 23:26

v_martins02 escreveu:Euclides, não consigo visualizar sua resposta completa, as principais partes não tenho acesso, já estou logado no site...O que pode ser?

Eu havia usado um editor LaTeX (de baixa confiança) que abandonou a imagem gerada. Consertei usando o confiável CODECOGS.