Os palitos de fósforo

Suponha que você possua 12 palitos de fósforos de comprimento x
Formando um quadrado de 3 fósforos de lado a área do quadrado vale ----> Sq = 9x²
Mudando a posição dos palitos você pode formar outro polígono; por exemplo pode formar um retângulo de lados 2 e 4 fósforos cuja área vale ----> Sr = 8x²

1) Mude agora os palitos de forma a formar um polígono de área Sp = 6x² (Esta é fácil)

2) Idem para formar outro polígono de área S' = 3x² (Esta é difícil!)

Obs.: Você não pode usar calculadora e nem tem transferidor para medir ângulos "quebrados" (é admissível formar ângulos famosos como 90º, 45º, etc.). Assim, você só pode usar as mãos e os olhos!

Mestre Elcio, muito criativo o problema!

1) É o velho triângulo retângulo 3, 4 e 5.

2) ???

Sim Ary é o famoso triângulo.

Quanto ao segundo, aí " é que a porca torce o rabo ".

Atenção para o termo POLÍGONO !!!!

desculpem a parte descritiva mas, momentaneamente, estou ruim para desenho.

1)
Montando o triângulo retângulo do Aryleudo temos catetos com 3x e 4x, dando área S_T = 6x².

2)
Cada quadrado feito (ou faltante) com um palito tem área x².

Se do triângulo do Aryleudo invertermos os palitos do ângulo reto para dentro do triângulo, estamos descontando um quadradinho de 1 palito de lado. Teremos, então, um polígono com área: 6x² - x² = 5x².

Basta fazer isso mais duas vezes. De cada cateto tiramos dois palitos do ângulo reto (total = 4 palitos). E os remontamos numa linha quebrada, mantendo o paralelismo aos catetos originais.
Supondo os catetos na horizontal e na vertical, essa linha é feita assim: um palito para a direita; na extremidade desse, um palito para baixo; e analogamente, um para a direita e um para baixo, fechando com o que havia restado do triângulo original.
O polígono formado tem a área do triângulo original menos a área de três quadradinhos: 6x² - 3x² = 3x².

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obs.
quebrei a cabeça. Cheguei até a pensar numa estrela de 6 pontas cuja área é 3*sqrt(3)*x². Essa estrela seria a superposição de dois triângulos equiláteros de lado 3x cada um. Mas... quem disse que precisava ser polígono regular?

Medeiros/Ary

Perfeito.
Vejam que em momento algum foi exigido um polígono REGULAR ou mesmo CONVEXO.

Vejam também que eu coloquei duas perguntas, sendo a primeira uma "moleza".
O objetivo da primeiira foi tentar mostrar o "caminho" para a segunda

Vou fazer um "desenho" do triângulo retângulo em A, com AB = 4, AC = 3, BC = 5
Não deu para "desenhar" a hipotenusa BC


B
|
|__
... |__
........|__ C
A

Muito boa solução, Mestre Medeiros

Figura:

Vinícius,

grato pelo cumprimento e pelo desenho.
Quando me detive no que já estava feito (o triângulo do Aryleudo), foi como o Élcio disse: a primeira pergunta já encaminhava a resposta da segunda. Sem essa primeira pergunta, eu não teria conseguido.