Comprimento da bissetriz (G. Analítica)

por Carolziiinhaaah Dom 13 Fev 2011, 14:04

Os vértices de um triângulo são A(3; -5), B(-3; 3) e C(-1; -2). Determine o comprimento da bissetriz do ângulo interno do vértice A.

gabarito: 14/3.V2

por **Medeiros** Dom 13 Fev 2011, 19:04

A=(3, -5)
B=(-3, 3)
C=(-1, -2)

c = AB = sqrt(36+64) = 10
b = AC = sqrt(16+9) = 5
a = BC = sqrt(4+25) = sqrt(29)

lei dos cossenos:
a² = b² + c² - 2bc*cos(A) ----> 29 = 100 + 25 - 2*10*5*cos(A) ----> cos(A) = 96/100 = 24/25

cos(A/2) = sqrt[(1+cos(A))/2] ----> cos(A/2) = sqrt[(1 + 24/25)/2] ----> cos(A/2) = sqrt(49/50) ----> cos(A/2) = 7*sqrt(2)/10

corolário:
Em qualquer triângulo, o comprimento da bissetriz é o produto da média harmônica dos lados do ângulo pelo cosseno do semi-ângulo. Então,

$x = 2\cdot \frac{b\cdot c}{b+c} \cdot cos\frac{A}{2} \; \rightarrow \; x = 2 \cdot \frac{10\cdot 5}{10+5} \cdot \frac{7\sqrt{2}}{10} \; \rightarrow \; {\color{red} x = \frac{14\sqrt{2}}{3}}$

obs
média harmônica entre b e c:
$mh = \frac{2}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}} \; \rightarrow \; mh = 2\cdot \frac{b\cdot c}{b+c}$

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