Potência e Raízes

por Presa Ter 28 Jun 2016, 14:25

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Qual o valor numérico de :

Obs: S/Gabarito

por trindadde Ter 28 Jun 2016, 19:17

Olá!

Note que a expressão de dentro da raiz quadrada pode ser desenvolvida assim:

$\dfrac{(225)^{2n+3} \cdot 225}{5^{2n+3} \cdot 5^2 \cdot 4 \cdot 5^{2n+3} \cdot 125} = \dfrac{[(3 \cdot 5)^2]^{2n+3} \cdot (3 \cdot 5)^2}{(5^{2n+3})^2 \cdot 5^5 \cdot 4} = \\ \\ \\ \dfrac{(3^2)^{2n+3} \cdot (5^{2n+3})^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2}{(5^{2n+3})^2 \cdot 5^5 \cdot 4} = \dfrac{(3^2)^{2n+4}}{5^3 \cdot 4}$

Ou seja, temos agora que

$2n+3\sqrt{\dfrac{(225)^{2n+3} \cdot 225}{5^{2n+3} \cdot 5^2 \cdot 4 \cdot 5^{2n+3} \cdot 125}} = \\ \\ \\ = 2n+3\sqrt{\dfrac{(3^2)^{2n+4}}{5^3 \cdot 4}} = 2n+3 \cdot \dfrac{[(3^2)^{2n+4}]^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{5^3 \cdot 4}} = \\ \\ \\ = 2n+3 \cdot \dfrac{3^{2n+4}}{10 \cdot \sqrt{5}} = 2n + \dfrac{3^{2n+5}}{10 \cdot \sqrt{5}}$

E isso foi tudo o que consegui desenvolver. Não há um valor numérico apenas visto que n pode variar infinitamente.

Espero ter ajudado. Abraços!

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por **Elcioschin** Ter 28 Jun 2016, 19:32

Presa

Seu título e seu texto estão errados: não existe equação nenhuma (uma equação tem dois membros e o sinal =). Isto é apenas uma expressão matemática.

E tenho uma dúvida na questão: Para mim (2n + 3) parece ser o índice da raiz.

por Presa Ter 28 Jun 2016, 21:31

Boa Noite trinndade !! Meu amigo aquele 2n+3 é o índice da raiz e não a multiplicação. Forte Abraço

por Presa Ter 28 Jun 2016, 21:35

Boa Noite, Mestre Elcioschin !! A respeito do tópico achei essa questão na parte de potências e raízes, não entendi onde estaria o erro. Sobre a sua dúvida o (2n+3) é sim o índice da raiz. Forte Abraço !!

por trindadde Ter 28 Jun 2016, 22:56

Mesmo considerando (2n+3) como o índice da raiz, teremos o seguinte:

$\dfrac{[(225)^{2n+3}]^{\frac{1}{2n+3}}\cdot 225^{\frac{1}{2n+3}}}{[(5^{2n+3})^2]^ \frac{1}{2n+3}\cdot (5^5\cdot 4)^{\frac{1}{2n+3}}} = \dfrac{225\cdot 225^{\frac{1}{2n+3 }}}{5^2 \cdot (5^5)^{\frac{1}{2n+3}}\cdot 4^{\frac{1}{2n+3}}} = \\ \\ \\ = \dfrac{225^{\frac{2n+4}{2n+3}}}{5^{\frac{2(2n+3)+5}{2n+3}}\cdot 4^{\frac{1}{2n+3}}}= \left(\dfrac{225^{2n+4}}{5^{4n+11}\cdot 4}\right)^{\frac{1}{2n+3}} = \left(\dfrac{3^{2n+3}\cdot 3 \cdot 5^{2n+3}\cdot 5}{5^{2n+3}\cdot 5 \cdot 5^{2n+3}\cdot 5^4 \cdot 4}\right)^{\frac{1}{2n+3}} = \\ \\ \\ = \dfrac{3 \cdot (3\cdot 5)^{\frac{1}{2n+3}}\cdot 5}{5^2\cdot (5^5\cdot 4)^{\frac{1}{2n+3}}} = \dfrac{3}{5}\cdot \left(\dfrac{3\cdot 5}{5^5\cdot 4}\right)^{\frac{1}{2n+3}} = \dfrac{3}{5}\cdot \left(\dfrac{3}{5^4\cdot 4}\right)^{\frac{1}{2n+3}}= \dfrac{3}{5}\cdot \sqrt[2n+3]{\dfrac{3}{5^4\cdot 4}}$

Ou seja, ficamos na mesma. Ainda dependemos da variável n.

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