Área de seção em esfera e cone inscrito

por **Eduardo Sicale** Seg 07 Fev 2011, 19:49

Dada uma esfera de raio R e um cone equilátero inscrito, determinar a que distância do centro da esfera se deve tomar um plano, de maneira que a área da seção, feita na esfera seja m vezes a área determinada pelo plano do cone.

Resposta: d = (mR - 3R)/(3 + m)

Aos mestres, meus sinceros agradecimentos !

por **Euclides** Ter 08 Fev 2011, 01:14

Área de seção em esfera e cone inscrito Esferaecone

Observe a figura. Ela consiste numa secção transversal da esfera e do cone que contém a altura do cone. Um plano que corte essa figura perpendicularmente à altura do cone determina um circulo na esfera e outro no cone, cujos raios são, respectivamente, f(x) e g(x) em que os valores puntuais dessas funções descrevem o raio da circunferência determinada na esfera e o raio da circunferência determinada no cone.

A relação desejada entre as áreas é tal que

$\dpi{120} \pi [f(x)]^2=m\pi[g(x)]^2\;\;\to\;\;f(x)=\sqrt{m}\,g(x)$

a circunferência tem centro em (R, 0) e sua equação será

$\dpi{120} \\(x-R)^2+y^2=R^2\\x^2-2Rx_y^2+y^2=0\\\\y=f(x)=\sqrt{2Rx-x^2}\;\;\;\fbox{1}$

a equação da geratriz do cone é

$\dpi{120} \dpi{120} g(x)=\frac{\sqrt{3}}{3}\,x\;\;\;\fbox{2}$

impondo a condição desejada temos

$\dpi{120} \dpi{120} \\\sqrt{2Rx-x^2}=\sqrt{m}\frac{\sqrt{3}}{3}\,x\;\;\;\to\;\;\;2Rx-x^2=\frac{mx^2}{3}\\6Rx-3x^2=mx^2\\x(m+3)=6R\\\\x=\frac{6R}{m+3}$

Agora procuramos a distância desse ponto ao centro da esfera

$\dpi{120} \dpi{120} \\d=R-x\\\\d=R-\frac{6R}{m+3}\;\;\to\;\;d=\frac{mR+3R-6R}{m+3}\\\\\\d=\frac{mR-3R}{m+3} \;\;\;c.q.d$