Áreas

Na figura abaixo, calcule a área hachurada em função da área S do quadrado ABCD, sabendo que E, F, G e H são pontos médios de seus lados.


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Resposta::

Trabalhoso. Vou indicar o caminho por Geometria Analítica

Seja um sistema xOy co origem em D e os seguintes pontos:

D(0, 0), C(a, 0), B(a, a), A(0, a), E (a/2, a), F(a, a/2), G(a/2, 0), H(0, a/2) e O(a/2, a/2)

A figura hachurada é um octógono regular (ângulo de 45º para cada lado)

Sejam P e Q os vértices logo abaixo de E e à direita de P. Trace PQ, e OP = OQ = x

Determine as equações das retas AF, BH e CE

Calcule as coordenadas de P(xP, yQ) e Q(xQ, yQ), em função de do lado a do quadrado
Calcule PQ = f(a) e depois calcule x = OP = OQ no triângulo isósceles OPQ ---> x = f(a)

Área de OPQ ---> s = OP.OQ.sen45º/2 ---> s = x².√2/4

Área do octógono ---> S = 8.s ---> S = 4.√2.x²