(afa) função

Seja f uma função real que satisfaz as seguintes propriedades:
I) f(0) = 1;
II) 0 < f(1) < 1; e
III) f(x + y) = f(x)f(y) para todo x, y pertencente a R.

Determine o malor da expressão f(0) + f(1) + f(2) + f(3) +...+ f(9)

f(0) = 1

f(x + y) = f(x)*f(y)

Para x = 1 e y = 1 ----> f(1 + 1) = f(1)*f(1) ----> f(2) = [f(1)]²

Para x = 2 e y = 1 ----> f(2 + 1) = f(2)*f(1) ----> f(3) = [f(1)]²*f(1) ----> f(3) = [f(1)]³

E assim por diante até f(9) = [f(1)]^9


S = f(0) + f(1) + f(2) + ....... f(9)

S = 1 + f(1) + [f(1)]² + ........ [f(1)]^9

Depois do 1 temos uma PG decrescente de 9 termos com a1 = f(1), q = f(1)

S = 1 + a1*[q^n - 1]/(q - 1) ----> S = 1 + (q^ - 1)/(q - 1)

Dividindo os dois polinômios ----> S = q^8 + q^7 + q^6 + q^5 + q^4 + q^3 + q^2 + q + 1

Basta agora substituir q por f(1)