Análise Combinatória

A quantidade de números inteiros positivos maiores que 99 e menores que 999, com exatamente dois algarismos repetidos:

gabarito:243

Você tem três opções _ _ _

Você tem dez algarismos para escolher, sendo que a primeira casa não pode ser zero.

Vamos estudar os casos de repetição que não envolvam o 0. Temos 9 opções então para escolher qual algarismo vai ser usado para repetir. Daí então, temos que escolher qual das três casas _ _ _ os números repetidos irão aparecer. A resposta é \binom{3}{2} formas de alocá-los. Para finalizar, temos 8 opções para escolher para a casa restante, logo:

9\cdot \binom{3}{2}\cdot 8=216

Vamos estudar os casos em que aparece o 0:

-Repetição de zero: a repetição só pode acontecer para as duas últimas casas. Para isso temos 9 opções.

-Sem repetição de zero: Ele pode aparecer na segunda ou na última (2). Temos 9 opções possíveis que podem ser escolhidas para ser o algarismo que vai repetir.

9 + 2*9 = 27

Resposta final é o total das combinações dos dois casos:

216 + 27 = 243

Abraço!