sequencia Fibonacci

por NATHGOOL Dom maio 01 2016, 10:17

Mostre que $\varphi ^{n}=f_{n}\varphi + f_{n-1}$

onde $f_{n}$ é o enésimo termo da sequencia de Fibonacci. (

$\varphi$ = razão aurea)

por **fantecele** Sáb Fev 22 2020, 14:24

Primeiro vamos encontrar uma fórmula fechada para a sequência de Fibonacci, vamos considerar que f1 = 1, f2 = 1, f3 = 2 e por ai vai.

Lembrando que nessa sequência temos que $\tiny \\f_{n}=f_{n-1}+f_{n-2}$ , utilizando a ideia de resolução de sequências recorrentes lineares de segunda ordem, temos que a equação característica da sequência é x² = x + 1, com raízes $\tiny \\x = \frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$ , dessa forma, o termo geral será:

$\tiny \\f_n = A.\left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right )^n+B.\left ( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right )^n$

Sendo f1 = f2 = 1, podemos encontrar A e B, dessa forma, fazendo n = 1 e depois n = 2 e resolvendo o sistema restante iremos encontrar que $\tiny \\A=\frac{1}{\sqrt{5}}$ e $\tiny \\B=-\frac{1}{\sqrt{5}}$ , daí tiramos que o termo geral da sequência de Fibonacci será dado por:

$\tiny \\f_n = \frac{1}{\sqrt{5}}.\left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right )^n-\frac{1}{\sqrt{5}}.\left ( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right )^n$

Agora iremos fazer o que o enunciado pede, perceba que o menor valor que n pode ter é n igual a 2, pois da maneira que eu pus os termos, temos que a sequência começa por n igual a 1, então não temos f0, daí não daria para por n igual a 1 na relação dada pelo enunciado. Vamos provar por PIF, primeiro iremos mostrar que vale para o menor valor de n possível, sendo ele igual a 2:

$\tiny \\\varphi^2=\left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right )^2=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\\f_2.\varphi+f_1=1.\left (\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right )+1=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$

Ou seja, $\tiny \\\varphi^2=f_2.\varphi+f_1$ .

Agora suponha que a relação vale para um certo k, ou seja $\tiny \\\varphi^k=f_{k}.\varphi+f_{k-1}$ , iremos mostrar que vale para k+1, dessa forma:

$\tiny \\\varphi^{k+1}=\varphi^k.\varphi=(f_{k}.\varphi+f_{k-1}).\varphi\\\varphi^{k+1}=f_k.\varphi^2+f_{k-1}.\varphi$

$\tiny \\f_{k}.\varphi^{2}=\frac{1}{\sqrt{5}}.\left ( \left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right )^k-\left ( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right )^k \right )\left ( 1+\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right )\\f_{k}.\varphi^{2}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left ( \left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right )^k+\left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right )^{k+1}-\left ( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right )^k-\left ( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right )^k.\left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right ) \right )\\f_{k}.\varphi^{2}=f_k+\frac{1}{\sqrt{5}}\left ( \left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right )^{k+1}-\left ( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right )^k.\left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right ) \right )$

$\tiny \\f_{k-1}.\varphi=\frac{1}{\sqrt{5}}.\left ( \left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right )^{k-1}-\left ( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right )^{k-1} \right ).\left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right )\\f_{k-1}.\varphi=\frac{1}{\sqrt{5}}.\left ( \left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right )^{k}-\left ( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right )^{k-1}.\left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right ) \right )$

Agora perceba que:

$\tiny \\\left ( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right )^k.\left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right )+\left ( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right )^{k-1}.\left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right )\\\left ( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right )^{k-1}.\left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right ).\left ( \frac{1-\sqrt{5}}{2}+1 \right )\\\left ( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right )^{k+1}.\left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right )$

$\tiny \\\left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right )^{k+1}+\left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right )^{k}\\\left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right )^{k}.\left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2}+1 \right )\\\left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right )^{k+1}.\left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right )$

$\tiny \\\frac{1}{\sqrt{5}}.\left (\left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right )^{k+1}.\left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right )-\left ( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right )^{k+1}.\left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right ) \right )\\\frac{1}{\sqrt{5}}\left ( \left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right )^{k+1}-\left ( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right )^{k+1} \right ).\left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right )\\f_{k+1}.\varphi$

Agora, somando $\tiny \\f_{k}.\varphi^2$ com $\tiny \\f_{k-1}.\varphi$ iremos obter que $\tiny \\\varphi^{k+1}=f_{k}.\varphi^2+f_{k-1}=f_{k+1}.\varphi+f_k$ , provando, assim, o que o enunciado pede.

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