O menor número

por GILSON TELES ROCHA Qui 30 Dez 2010, 09:59

(CN) Um número A dividido por 11 dá resto 2 e B é um número que dividido pelo mesmo divisor deixa resto 3. Calcular o menor número que se deve subtrair para de B elevado a três + A elevado a dois para se obter um múltiplo de 11.

gab: 6

por **Euclides** Qui 30 Dez 2010, 16:48

por **abelardo** Sex 15 Jul 2011, 02:02

Mestre Euclides, não consigo visualizar a sua resolução, só diz:''Invaled Equation''.

Só encontro nove como resposta...

$\left\{\begin{matrix} A=11m+2 \\ B=11n+3 \end{matrix}\right.$

$B^3+A^2=(11n+3)^3+(11m+2)^2$

$({\color{Red} 11^3n^3 +3\cdot11^2n^2\cdot 3+ 3\cdot 11n \cdot9}+27)+({\color{Red} 11^2m^2+2\cdot 11m\cdot 2}+4)$ Destacado os múltiplos de 11,

${\color{Blue} 11\cdot(11^2n^3+3\cdot11n^2\cdot3+3\cdot11n\cdot9+11m^2+2\cdot m\cdot 2)}+27+4$ Toda parte de azul, obviamente, é um múltiplo de 11.

Como toda parte de azul é um múltiplo de 11 -->

$11x+27+4$

$11x+31=11x+(11\cdot 2 +9)$

O menor número que deve-se subtrair é 9... mas a resposta é seis!! Mestre, mostre-me seus cálculos, por favor kkk! (Uso o Mozilla versão 4.0)

por **luiseduardo** Sex 15 Jul 2011, 02:40

Olá abelardo,
Concordo com sua resolução (apesar de ter resolvido por congruência). Entretanto, o enunciado está errado. Pesquisei essa questão e achei o seguinte enunciado:

"Um número a dividido por 11 dá resto 2 e b é um número que, dividido pelo mesmo divisor, deixa
resto 3. Calcular o menor número que se deve subtrair de a^3+ b^2 para se obter um múltiplo de 11."

Essa questão está num arquivo do site da OBM.

Considerando o enunciado a^3 e b^2 teremos:

A = 2 (mod 11)
B = 3 (mod 11)

A³ = 2³ (mod 11)
B² = 3² (mod 11)

Somando achamos que:

A² + B² = 17 (mod 11)

Mas perceba que 17 divido por 11 terá resto 6.

Logo, o menor número que se deve subtrair é 6.

17 = 6 (mod 11)

Agora fazendo a resolução dessa questão considerando a^2 e b^3:

A² = 4 (mod 11)
B³ = 27 (mod 11)

S = 31 (mod 11)

31 = 9 (mod 11)

Também estou vendo essa mesma mensagem na resposta do Euclides. (Uso Opera)

por **luiseduardo** Sex 15 Jul 2011, 02:43

Pesquisando na net, achei uma resolução de nosso amigo Ivo:

Boa tarde!

a³ + b² - x = 11.k
2³ + 3² - x = 11.k
8 + 9 - x = 11.k
17 - x = 11.k
x = 17 - 11.k

"x" deve ser positivo, logo:

17 - 11.k > 0
17 > 11.k
11.k < 17
k < 17/11
k =< 1

Como "k", não pode ser igual a zero, logo:
k = 1

x = 17 - 11.k
x = 17 - 11.1 = 17 - 11
x = 6
====

Resposta: O menor número que se deve subtrair é o número 6.

Para conferir, tomemos um exemplo qualquer (pois deve valer para qualquer um que tomarmos):

a = 35 → mult. de 11 + 2
b = 80 → mult. de 11 + 3

a³ + b² - x = 11.k

35³ + 80² – 6 = 42875 + 6400 – 6 = 49269

49269 = 11.k

k = 49269/11
k = 4479

“Venham a mim todos vocês que estão cansados e sobrecarregados e eu os aliviarei. Tomem sobre vocês o meu jugo, e aprendam de mim que sou manso e humilde de coração, e encontrarão descanso para suas almas. Porque o meu jugo é suave e o meu fardo é leve.” – Jesus Cristo – Mateus 11:28-30

http://br.answers.yahoo.com/question/index?qid=20100824130534AAfUHXS

por **Euclides** Sex 15 Jul 2011, 13:54

Não sei direito o que aconteceu com o látex lá em cima. Minha resolução era:

$\\B=11q+2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;A=11e+3\\\\B^3=11^3q^3+3.11^2.q+3.11.q^2+2^3\\A^2=11^2q^2+2.11.q+3^2\\\\2^3+3^2=17\,\,\to\,\,17-\boldsymbol{6}=11$

por JEABM Ter 26 Dez 2017, 23:49

Luis Eduardo, estou tentando fazer por mod TB, mas ainda estou tentando entender direito esse mod.

Sei q tem a propriedade do mod

a congruente b mod m e c congruente d moda m

a + c congruente b + d mod m

E tb a^n + b^n mod m...

Por ser a³ + b² podemos somar?

Vc teria um livro bom p me indicar de mod? Grato