Equação trigonometrica

por rhiwe10 Qui 10 Mar 2016, 21:28

$cos(3arcsinx-arccosx)=\sqrt{3}/2$

Gabarito.)

$\frac{1-\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}$

Agradeço. Smile

por **Robson Jr.** Sex 11 Mar 2016, 12:29

rhiwe10, seu gabarito está MUITO errado: além do problema ter mais de uma solução, o valor de x é menor que -1 (impossível)

Usando que arcsin(x) + arcos(x) = pi/2, podemos escrever:

$\small cos\left ( 3arcsen(x)-\left ( \frac{\pi}{2}-arcsen(x) \right ) \right )=\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ \Rightarrow \ cos\left (4arcsen(x)-\frac{\pi}{2} \right )=\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ \Rightarrow \ sen(4arcsen(x))=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Lembrando que arcsen(x) possui imagem ]-pi/2, pi/2[ (isso limitará os valores de k mais adiante):

$\small sen(4arcsen(x))=\frac{\sqrt{3}}{2}=sen\left ( \frac{\pi}{3} \right ) \\\\ 1) \ 4arcsen(x)=\frac{\pi}{3}+2k\pi \\\\ \Rightarrow arcsen(x)=\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}, \ k \in \left \{ 0, \ -1 \right \} \\\\ \Rightarrow arcsen(x)\in \left \{ \frac{\pi}{12}, \ -\frac{5\pi}{12} \right \} \\\\ \Rightarrow \boxed{x=sin\left ( \frac{\pi}{12} \right )} \ ou \ \boxed{x=sin\left ( -\frac{5\pi}{12} \right )}$

$\small \\ 2) \ 4arcsen(x)+\frac{\pi}{3}=(2k+1)\pi \\\\ \Rightarrow arcsen(x)=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{2}, \ k \in \left \{ 0, \ -1 \right \} \\\\ \Rightarrow arcsen(x)\in \left \{ \frac{\pi}{6}, \ -\frac{\pi}{3} \right \} \\\\ \Rightarrow \boxed{x=sen\left ( \frac{\pi}{6} \right )=\frac{1}{2}} \ ou \ \boxed{x=sen\left ( -\frac{\pi}{3}\right )=-\frac{\sqrt{3}}{2}}$

Embora os dois primeiros valores de x não estejam numericamente visualizáveis, todos os 4 valores são corretos e se encontram na forma explícita.

Não é esperado que se conheça os senos de pi/12 e de -5pi/12. Mas a título de curiosidade, eis os valores:

$\small \\ sen\left ( \frac{\pi}{12} \right )=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\\\\ sen\left ( -\frac{5\pi}{12} \right )=-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

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