Losango - Geometria Plana

Sejam ABCD um losango no qual o ˆangulo Bˆ mede 108o , e CAP Q outro losango cujo v´ertice P est´a no prolongamento de AB, no sentido de A para B. Determine a medida do menor ˆangulo formado por AQ e BC.

90°

Peço ao colega Raimundo para fazer um desenho em escala:

Faça um bom desenho , em escala, se possível usando um transferidor (ou usando um programa de imagens)

A^BC = A^DC = 108º ---> BÂD = B^CD = 72º
BÂC = DÂC = B^CA = A^CD = 36º
AB = BC = CD = DA = x ---> AC = 2.x.cos36º ---> BD = 2.x.cos54º
O = centro do losango

O novo losango tem lado AC = 2.x.cos36º e tem centro E, encontro de AQ com CP
Seja M o ponto de encontro de AQ com BC
A^MQ = θ é o ângulo procurado

Facilmente se vê que:

C^BP = 72º = C^PB ---> B^CP = 36º
BÂQ = 18º

No triângulo ABM ---> BÂM + A^BM + A^MB = 180º ---> 18º + 108º + θ = 180º --> θ = 54º

Errei (90) porque posicionei P no prolongamento de BC.





Agora estou encontrando 72°

Raimundo

O meu desenho ficou diferente do seu: o meu ponto Q ficou no prolongamento de BC

Eu fiz assim

Coloquei AC na horizontal com A à esquerda, ficando o vértice B em cima e D em baixo.
Prolonguei AB uma distância BP, tal que BP < AB --> BP = AB.(2.cos36º - 1)
Prolonguei DC uma distância CQ = 2.CD
Nesta situação temos PQ paralelo a AC ---> PQ = AC = 2.AB.cos36º
Temos portanto PC ⊥ AQ no ponto E
M é o ponto de encontro de AQ com BC

Você poderia fazer um desenho assim, para podermos comparar?

Mestre Elcio ,

Não consegui fazer o desenho . Talvez o mestre Euclides que domina o Geogebra possa nos ajudar.

Acho que foi este o desenho que o Élcio pensou, embora não assim "tosco" (não esqueci, viu Élcio?). Foi o que pensei também.

Medeiros

O desenho está perfeitamente "legível" e "compreeensível" e bastante similar ao que faço no papel, quando estou resolvendo questões no fórum! Obrigado meu amigo.

Ôpa , muito bem bolado Medeiros .
Não consegui fazer o desenho pq mestre Elcio fala que o pto Q ficava no prolongamento de BC.
Ainda não consegui ver pq minha resolução com resultado 72° está errada , gostaria que a Karinne postasse o gabarito.
Um outro modo de ver  porque A^PQ é isósceles.  AC//PQ--->A^PQ +PÂC=180-->A^PQ=180-36=144°  (colaterais internos)

Ainda não consegui ver pq minha resolução com resultado 72° está errada , gostaria que a Karinne postasse o gabarito

Raimundo,
você não seguiu a "receita" para o desenho e colocou o vértice P no prolongamento de CB. Até aí não há problemas, desde que também alterasse a sequência dos vértices na construção -- CPQA ou CAQP.

Conforme você construiu, quem ficou no prolongamento de CB foi a diagonal maior do losango novo, e não um seu lado. Isto dobrou o ângulo agudo do losango novo e ambos ficaram com todos os ângulos congruentes. Além do que, pela receita os dois losangos teriam um lado em comum (ou parcialmente comum); e desta forma o lado de um dá origem à diagonal do outro.