Geometria Plana

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Geometria Plana

Mensagem por Convidado em Sex Nov 25 2016, 23:12

Na figura , AM é mediana e BF bissetriz . Calcule x



A figura está ruim mas da para ver.
Ajudem ai ?

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Re: Geometria Plana

Mensagem por Elcioschin em Sab Nov 26 2016, 09:20

Calcular x em função de qual dado? Só conhecemos o ângulo reto BÂC. Não conhecemos nenhum lado nem qualquer outro ângulo. 

O máximo que sabemos é que AM = BM = CM = r (raio da circunferência circunscrita)

Seja θ = A^BF = M^BF ---> A^BM = 2.θ ---> A^CB = A^CM = 90º - 2.θ

∆ MAB é isósceles (AM = BM) ---> BÂM = 2.θ ---> A^MB = 180º - 4.θ

∆ BFM ---> B^FM = x é ângulo externo do ∆ FAB ---> B^FM = x = 3.θ

∆ MAC é isósceles (MA = MC) ---> MÂC = A^CM ---> MÂC = 90º - 2.θ ---> A^MC = 4.θ


Última edição por Elcioschin em Sab Dez 24 2016, 09:39, editado 1 vez(es)
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Re: Geometria Plana

Mensagem por Convidado em Sab Nov 26 2016, 12:45

não tem nenhum outro dado , somente a mediana AM dividindo o ângulo reto conforme a figura e BF bissetriz .

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Re: Geometria Plana

Mensagem por Convidado em Sab Dez 24 2016, 09:31

Voltando nessa questão fiz que x = 3^B/2

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Re: Geometria Plana

Mensagem por gilberto97 em Sab Dez 24 2016, 14:22

Apresentarei minha tentativa. 

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Como AM é a mediana, AM = CM = BM = a/2. O triângulo AMC é isósceles, logo [Você precisa estar registrado e conectado para ver esta imagem.], o que nos leva a concluir que [Você precisa estar registrado e conectado para ver esta imagem.]. No triângulo BMF:

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Teorema da bissetriz interna no triângulo BMA:

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Como ABC é retângulo em Â, temos [Você precisa estar registrado e conectado para ver esta imagem.].

Após alguma manipulação:

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Ainda no triângulo BMF, aplicamos a lei dos senos:

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Substituindo [Você precisa estar registrado e conectado para ver esta imagem.] e o resultado anterior, ficamos com:

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Não se desespere. Antes de tentar desenvolver essa loucura, substitua valores convencionais. Por exemplo, [Você precisa estar registrado e conectado para ver esta imagem.] é uma solução da equação acima. Isso não me parece absurdo, pois [Você precisa estar registrado e conectado para ver esta imagem.] pertence, obrigatoriamente, ao primeiro quadrante. Então:

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Confesso que fiquei curioso e utilizei o site https://www.desmos.com/calculator para encontrar outra solução. Vi que [Você precisa estar registrado e conectado para ver esta imagem.] é outra solução possível e nesse caso teríamos [Você precisa estar registrado e conectado para ver esta imagem.]. Você tem o gabarito?

EDIT: Perdoe minha comodidade. A equação apresentada não é uma loucura. Veja:


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Pronto, encontre todas as soluções. Very Happy

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Re: Geometria Plana

Mensagem por Convidado em Sab Jan 07 2017, 17:18

gilberto97 escreveu:Apresentarei minha tentativa. 





Como AM é a mediana, AM = CM = BM = a/2. O triângulo AMC é isósceles, logo , o que nos leva a concluir que . No triângulo BMF:





Teorema da bissetriz interna no triângulo BMA:



Como ABC é retângulo em Â, temos .

Após alguma manipulação:



Ainda no triângulo BMF, aplicamos a lei dos senos:





Substituindo  e o resultado anterior, ficamos com:



Não se desespere. Antes de tentar desenvolver essa loucura, substitua valores convencionais. Por exemplo,  é uma solução da equação acima. Isso não me parece absurdo, pois  pertence, obrigatoriamente, ao primeiro quadrante. Então:





Confesso que fiquei curioso e utilizei o site https://www.desmos.com/calculator para encontrar outra solução. Vi que  é outra solução possível e nesse caso teríamos . Você tem o gabarito?

EDIT: Perdoe minha comodidade. A equação apresentada não é uma loucura. Veja:










Pronto, encontre todas as soluções. Very Happy
Impressionante cara ! queria ter essa visão também muito aprofundada , ainda estou longe , não tenho o gabarito infelizmente , vou tentar procurar o gabarito.

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Re: Geometria Plana

Mensagem por RioBrancoabc em Sab Jan 07 2017, 18:12

[Você precisa estar registrado e conectado para ver esta imagem.]
2a+(90-a)/2 + x=180
0=>   4a+90-a+2x=360 => (270-2x)/3=a
0< (270-2x)/3<90
-270<-2x<0
135>x>0
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