Interseção de Funções

por TheUltimateCross Sex 05 Fev 2016, 14:55

Boas pessoal! Alguém me pode explicar como resolver esta questão?

Texto de apoio:

No referencial da figura ao lado está parte do gráfico da função f tal que f(x) = 4x+1 / 2x^2+(x)

Sejam g e h as funções que a cada valor de a , abcissa do ponto A, fazem corresponder, respetivamente, a área colorida da figura e a área do trapézio (ABCD).

Sabe-se que g(a) = ln ( 2a^2 + a / 3 ) e que h(a) = 10 a^3 + 7a^2 - 14a - 3 / 12a^2 + 6a

3 - Para que valor de a a área da região colorida é 25% da área do trapézio? Recorre às capacidades gráficas da calculadora para responder à questão colocada. Apresenta o resultado arredondado às centésimas.

Imagem de apoio:

Interseção de Funções Ixeb8j

Obrigado!

por **gilberto97** Sex 05 Fev 2016, 17:15

1) g(a)=ln5

ln(2a²+a/3) = ln(5)

2a²+a / 3 = 5

2a²+a-15 = 0

Resolvendo e sabendo que a>0 (pela figura): a = 5/2

Para a = 5/2, yb = f(a). Então yb = f(5/2) = [4(5/2)+1]/[2(5/2)^2+5/2]

Resolvendo: yb = 11/15

2) g(a) = π

ln(2a²+a/3)=π

2a²+a-3.e^π = 0

Resolvendo, você encontra a ~ 5,6

2.2) Sabcd = (yb+yc)(a-1)/2

Cálculo de yc: yc = f(1) = 5/3.

Além disso: yb = f(a) = [4a+1]/[2a²+a] e Sabcd = h. Então:

h(a) = ([4a+1]/[2a²+a] + 5/3)(a-1)/2

... alguma álgebra...

h(a) = 10a³+7a²-14a-3 / 12a²+6a, a > 1

3) g(a)=0,25h(a)

ln(2a²+a/3) = 0,25(10a³+7a²-14a-3 / 12a²+6a)

Fazendo a = 1:

ln(1) = 0,25(17-17)/18

ln(1) = 0 (exatamente!)

Então, isso ocorre quando a = 1. Porém, nossa função h(a) está definida apenas para a > 1. Devemos encontrar outro valor. Continue daqui.

Desculpe a bagunça. Se não entender eu uso latex.

por TheUltimateCross Sex 05 Fev 2016, 20:37

Gilberto, penso que não é para substituir valores no a (ex. 3), mas sim igualar as funções e descobrir o ponto em que se intersetam( x=a ). Mas continuo a precisar de ajuda, pode tentar?

por Matemathiago Sex 05 Fev 2016, 20:43

Não estou conseguindo visualizar direito...

A área da região colorida é a que está embaixo da curva?

por **gilberto97** Sex 05 Fev 2016, 20:50

TheUltimateCross escreveu:Gilberto, penso que não é para substituir valores no a (ex. 3), mas sim igualar as funções e descobrir o ponto em que se intersetam( x=a ). Mas continuo a precisar de ajuda, pode tentar?

Acredito que aqui você necessitará de uma calculadora. Ou isso ou algum processo iterativo.