Movimento Uniformemente variado

Gente tenho com uma dúvida teórica, no MUV só observando o gráfico da velocidade em função do tempo já poderíamos dizer que a velocidade média nesse movimento vale a média aritmética das velocidades entre dois instantes considerados, eu sei que se chega nessa fórmula manipulando as equações do movimento, mas eu queria saber apenas teoricamente já poderíamos afirmar esse fato? de uma maneira matemática teórica como se explicaria isso?

Há como verificar pelo gráfico, lembrando que aprendemos que a área determinada sob o gráfico da velocidade tem mesmo valor numérico que a distância percorrida.



a área do trapézio é

Muito boa essa demonstração Euclides, simples e rápida. Vai me ajudar muito posteriormente.
Mas no momento eu buscava uma explicação apenas teórica, eu tenho um livro de física que autor só de observar o gráfico velocidade-tempo já joga logo essa fórmula, pois ele fala que como a velocidade varia uniformemente com o tempo essa fórmula é válida sem fazer nenhuma cálculo.
Seria isso verdade?
De qualquer forma muito obrigado.

Sem gráfico:

Considere que o móvel partiu da origem com velocidade nula e aceleração a.
Após um tempo t ele percorreu uma distância d e após um tempo T uma distância D

d = (1/2).a.t² ---> D = (1/2).a.T² ---> ∆S = D - d ---> ∆S = (1/2).a.T² - (1/2).a.t² --->

∆S = (1/2).a.(T² - t²) ---> ∆S = (1/2).a.(T + t).(T - t)
∆t = T - t

Sejam V1, V2 as velocidades em t e T

V1 = a.t ---> t = V1/a ---> V2 = a.T ---> T = V2/a ---> T + t = (V1 + V2)/a

Vm = ∆S/∆t ---> Vm = (1/2).a.(T + t).(T - t)/(T - t) ---> Vm = (1/2).a.(T + t) --->

Vm = (1/2).a.[(V1 + V2)/a] ---> Vm = (V1 + V2)/2

Muito obrigado também Elcioschin.