Teoria dos números
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Teoria dos números
por gabrielmcg Sáb 09 Jan 2016, 20:17
O inteiro x é tal que a soma dos dígitos de 3x é igual a soma dos dígitos de x. Prove que x é divisível por 9.
gabrielmcg- Iniciante
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Re: Teoria dos números
por renan2014 Qui 01 Fev 2018, 11:41
É um fato conhecido que um número é congruente à soma dos seus dígitos módulo 9.
Assim, seja S(n) a soma dos algarismos de n, teremos:
\equiv&space;x\;&space;mod\:&space;9 "S(x)\equiv x\; mod\: 9")
e
\equiv&space;3x\;&space;mod\:&space;9 "S(3x)\equiv 3x\; mod\: 9")
Como S(3x)=S(x), teremos:
\equiv&space;S(x)\equiv\3x\equivx&space;\equiv&space;x&space;\;mod\;&space;9 "S(3x)\equiv S(x)\equiv\3x\equivx \equiv x \;mod\; 9")
Então,
.
Como mdc(2,9)=1, então x é côngruo a 0 módulo 9, ou seja, x é divisível por 9.
Assim, seja S(n) a soma dos algarismos de n, teremos:
e
Como S(3x)=S(x), teremos:
Então,
Como mdc(2,9)=1, então x é côngruo a 0 módulo 9, ou seja, x é divisível por 9.
renan2014- Jedi
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