Explosão Bidimensional - II

Uma granada de massa m explode em vários fragmentos. A explosão tem um Q positivo.

a) Mostre que, se a granada se divide em dois fragmentos iguais, suas quantidades de movimento e velocidades no referencial no referencial do CM são, respectivamente, iguais a  e .

b)Mostre que, se a granada se divide em três fragmentos iguais emitidos simetricamente no referencial do CM, suas quantidades de movimento e velocidades, nesse referencial, são, respectivamente,  e .

c) Repita (b) supondo que dois fragmentos são emitidos com a mesma velocidade relativamente ao referencial do CM, mas em direções que fazem ângulo de 90º.

d) Como os resultados de (a) apareceriam para m observador no referencial inercial se, no instante da explosão, a granada estivesse se movendo com uma velocidade igual a , relativa ao referencial inercial, e na mesma direção do movimento de um dos fragmentos resultantes ?



Gabarito:

a) Demonstração.

b) Demonstração.

c) 2 fragmentos:  ; 

   

    1 fragmento:  ; 



d) Fragmento no mesmo sentido do movimento inicial:

; 

    Fragmento no sentido contrário ao do  movimento inicial:


; 

Essa questão parece de ensino superior.

a)
Podemos considerar que nenhum dos fragmentos sofre força externa, como por exemplo a ação da força peso ou mesmo outros corpos que possam interagir com os fragmentos. Para melhor dizer, vamos considerar o momento inicial como um instante antes da explosão e o momento final um instante depois da explosão.

Há então neste caso, conservação do momento linear. Não há conservação de energia pois a explosão fornece energia, a transformação de energia quimica(ou potencial de moleculas) para energia mecânica.

Então, podemos dizer o instante inicial como o instante 1, e o instante final como instante 2. Como Q1 e Q2 as quantidades de movimento nos instantes inicial e final respectivamente, assim como E1 e E2 suas energias.
Logo, temos as equações:


Assim, temos:


Poderiamos obter uma resposta em função de m₁, m₂, mas para simplificação de calculos e como foi dito pelo enunciado, temos m₁=m₂=m/2 e M = m
Assim, temos:


Daqui, podemos admitir as velocidades em relação ao centro de massa. Antes da explosão, o centro de massa coincide com os dois fragmentos e portanto, v₀=0. Deste modo, temos:


Disto podemos dizer que a velocidade é dada por:


Enquanto a quantidade de movimento é dado pelo produto da velocidade pela massa, logo:




b)
O mesmo pensamento se segue. Quantidade de movimento é conservada mas a energia não. Se há um terceiro fragmentos e todos são iguais, então as equações viram:


Daqui, utilizamos o fato do enunciado: "emitidos simetricamente no referencial do CM". Ou seja, todos possuem a mesma velocidade e o ângulo entre os vetores velocidades serão de 2π/3, ou seja, de 120°.
Assim, usando a segunda equação(obtida pela energia) e usando o fato que v₁=v₂=v₃, e que v₀=0. Logo:


E sua quantidde de movimento:




c)
Aqui, vamos chamar os fragmentos 1 e 2 como os que saem perpendiculares e com mesma velocidade. Assim:


Usando a equação encontrada em b)


E como v₀=0, temos então:


Podemos ver que o produto escalar entre as velocidades v1 e v2 é nulo pois suas velocidades são perpendiculares, e então:


Logo:


De modo análogo aos outros itens:




d)
Aqui, não adotamos o referencial do centro de massa, e portanto, neste caso v₀≠0. Mas, podemos utilizar o obtido em (a). Isto é, podemos achar v₀ com o dado pelo item (d) e dizer que v₁ é a soma de v₀ com o ganho após a explosão.
Portanto, temos:


Como a velocidade adquirida é, segundo o item (a), equivalente a √(2Q/m), então:

No mesmo sentido:

No sentido oposto:

Que está positivo no gabarito pois trata-se de módulo. Os momentos podem ser calculados assim como nos outros itens:


PS: Usei Q com índice para quantidade de movimento e fui perceber que havia já Q na questão somente no item (d).

Agradeço mesmo, obrigado.