O maior natural n

por jose roberto Ter 30 Nov 2010, 17:23

O maior natural n para o qual 3^n é divisor de 2^(3^2005) + 1 é.

a)2004 b)2005 c)2006 d)2007 e)2008

por Jean1512 Qua 20 Jul 2011, 18:04

jose roberto escreveu:O maior natural n para o qual 3^n é divisor de 2^(3^2005) + 1 é.

a)2004 b)2005 c)2006 d)2007 e)2008

Primeiro, comprovemos que
$2^{3^{2005}} +1 \equiv 0(mod3)$

$2^{k}\equiv p (mod 3)$

k $\in \mathbb{N}$

$p\in {0,1,2}$

p=0 é absurdo

Se k é par, k=2q, q $\in \mathbb{N}$

$2^{k}\equiv 2^{2q}\equiv [2^{q}]^{2}(mod 3)$

Se $2^{q}\equiv 1 (mod 3)$

$[2^{q}]^{2}\equiv 1^{2}\equiv 1 (mod 3)$

Se $2^{q}\equiv 2 (mod 3)$

$[2^{q}]^{2}\equiv 2^{2}\equiv 4\equiv 1 (mod 3)$

Conclusão: Se k é par,
$2^{k}\equiv 1(mod 3)$

Agora, se k é ímpar, k=2q + 1

$2^{k}\equiv 2^{2q + 1}\equiv 2^{2q} . 2\equiv {[2^{q}]^2}.2\equiv 1.2\equiv 2(mod 3)$

$3^{2005}$ é ímpar,

$2^{3^{2005}}\equiv 2(mod3)$

$2^{3^{2005}} + 1\equiv 2 + 1 \equiv 3 \equiv 0(mod3)$

$2^{3^{2005}} +1 \equiv 0(mod3)$ como queríamos demonstrar.

Agora, podemos calcular o valor de n para x=2^3^2005
k=3^2005

$2^{3^{2005}} + 1 \equiv 3(mod3)$

$2^{3^{2005}} + 1 =3^{n}.t$

na qual t não é múltiplo de 3.

Observemos:

$2^{3^{a}} + 1 =3^{b}.t$

Se a=0, b=1
Se a=1, b=2
Se a=2, b=3

Será que b=a+1?

Pelo princípio da indução finita:

Supondo que
$2^{3^{a}} + 1 =3^{a+1}.t$

Para a=0 e a=1 já verificamos.

$2^{3^{a+1}} + 1 = 2^{3.3^{a}} + 1 = [2^{3^{a}}]^{3} + 1$

Mas sabemos que

$2^{3^{a}} =3^{a+1}.t - 1$

$[2^{3^{a}}]^{3} =[3^{a+1}.t - 1]^{3}$

$[3^{a+1}.t - 1]^{3} = 3^{3(a+1)}.t^{3} - 3.3^{2(a+1)}.t^{2} + 3.3^{a+1}.t - 1$

$2^{3^{a+1}} + 1 = 3^{3(a+1)}.t^{3} - 3.3^{2(a+1)}.t^{2} + 3.3^{a+1}.t - 1 + 1 = 3^{a + 2}(3^{2a + 1} - 3^{a + 1} + 1)$

$(3^{2a + 1} - 3^{a + 1} + 1) = 3^{h}.j$

$3^{2a + 1} \equiv 0 (mod3)$

$3^{a + 1} \equiv 0 (mod3)$

$1 \equiv 1 (mod3)$

$3^{2a + 1} - 3^{a + 1} + 1 \equiv 0 - 0+ 1 \equiv 1 (mod3)$

h=0

$3^{2a + 1} - 3^{a + 1} + 1 =t'$

$2^{3^{a+1}} + 1 =3^{a+2}.t'$

como queríamos demonstrar.

Assim, concluimos que n=2005+1

n=2006

Letra C

O maior natural n

O maior natural n

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