Demonstração de teorema

Bom dia.

Estou vendo a parte de Posição de um número real em relação às raízes de uma equação do 2º grau e lá o autor demonstra 2 teoremas. Postarei apenas parte de um deles e a dúvida em relação à passagem correspondente, pois devo respeitar as regras do fórum. Vamos lá:

Teorema: Se a*f(α) < 0, o trinômio f(x) = ax² + bx + c tem zeros reais e distintos e α está compreendido entre eles.

Hipótese: a*f(α) < 0; Tese: ∆ ≥ 0 e x1 < α < x2

Demonstração:
1º) Se fosse ∆ ≤ 0, teríamos a*f(α) ≥ 0, ∀ α, α ∈ ℝ, o que é absurdo, pois contraria a hipótese a*f(α) < 0.

Nessa primeira parte da demonstração eu já travei. Como é que o autor sabe que se ∆ ≤ 0 nós teríamos a*f(α) ≥ 0? Tentei testar se isso era verdadeiro, mas não obtive sucesso. Parece muito simples de entender e eu não consigo deixar de me sentir estúpido por não conseguir compreender esta parte. Alguém poderia me ajudar?

Boa tarde.

Obrigado pela resposta, Vladimir. Eu tentei enxergar pelo gráfico, da mesma maneira que você fez, mas continuei (e continuo) sem entender. Uma observação: o "a" ali dentro dos parenteses é, na verdade, a letra grega alpha, então aquele produto é o a (coeficiente de x²) multiplicado por uma função f(alpha).

Revisei o capítulo de Equações (principalmente as do 2º grau) e reescrevi todas as demonstrações lá feitas. Agora estou de terminando de revisar o capítulo de Inequações e revendo todas as demonstrações; acredito que estou quase conseguindo sanar a minha dúvida em relação à demonstração desses teoremas. Tem a ver com o estudo dos sinais do trinômio ax² + bx + c, estou perto.

Valeu pela tentativa em ajudar.

Boa tarde wololo!,

De inicio fiquei sem entender o que eram exatamente esse alpha e a letra "a".

Vamos a três casos:
1°)∆ < 0
2°)∆ = 0
3°)∆ > 0
No primeiro caso, não existirá qualquer raiz real e isso no campo dos reais não está definido. E como nosso objeto de estudo só são os números reais então deixamos de lado a parte complexa e encerramos por aqui.
No segundo caso, teremos somente uma raiz, e nesse caso b²=4ac. Neste podemos ver que b² é sempre maior ou igual zero. Na segunda opção(onde é igual a zero) teremos que ou a ou c será zero, mas sendo importante que a difere de zero pois caso contrário não teríamos uma função de segundo grau. Portanto, b = 0 e c=0 teremos f(x)=ax²
No terceiro caso, onde existem duas raizes, teremos b² > 4ac. Então sendo x1 e x2 as raizes do polinômio, teremos que -b/2a estará entre x1 e x2.
Ou seja, se a > 0, então terá concavidade para cima, e f(-b/2a) < 0.
Agora, se a < 0, então terá concavidade para baixo, e f(-b/2a) > 0
Assim, a . f(-b/2a) < 0 se, e somente se existirem raizes reais e distintas.

Não sei se já sanei a dúvida ou se escrevi mais "bobageira", contudo falando um pouco mais abaixo.
1) Se delta for menor que zero, não haverá raizes.
E se a > 0, então f(x) > 0 ---> a . f(x) > 0
E se a < 0, então f(x) < 0 ---> a . f(x) > 0
2) Se delta for zero, então haverá somente uma raiz, isso faz com que:
Se a > 0, então f(x) ≥ 0 ----> a . f(x) ≥ 0
Se a < 0, então f(x) ≤ 0.----> a . f(x) ≤ 0
3) Se delta for maior que zero, haverá duas raizes e não podemos dizer nada sobre o sinal da função, podendo ser negativo ou positivo.
Se a > 0, então f(x) poderá ser negativo entre as raizes ---> a . f(x) < 0 <--> Se x está entre raizes
Se a < 0, então f(x) poderá ser positivo entre as raizes ---> a . f(x) < 0 <--> Se x está entre raizes
Agora, se x não está entre as raizes, o produto será positivo.

Dê uma olhada neste link:
Parábola

wololo

a = coeficiente do termo do 2º grau
α = um valor real qualquer de x

Logo, f(α) NÃO é uma função f(α) como você escreveu: f(α) é o valor da função f(x) quando x = α

Na parábola da esquerda a > 0 pois a concavidade está voltada para cima
Esta função não tem raízes reais (ela não corta ou tangencia o eixo x). Isto significa que, para qualquer valor de x (ou de α), ∆ < 0 e a função f(x) = f(α) é sempre positiva (está sempre acima do eixo x)

Logo ---> a.f(α ) > 0 ---> Isto contraria a hipótese de a.f(α ) < 0

De modo similar, a parábola da direita tem a concavidade voltada para baixo (a < 0). Do mesmo modo, ela NÃO tem raízes reais e é sempre negativa: f(x) = f(α ) < 0

Temos pois ---> a.f(α) > 0 o que também contraria a hipótese

Carlos Adir escreveu:Boa tarde wololo!,

De inicio fiquei sem entender o que eram exatamente esse alpha e a letra "a".

Vamos a três casos:
1°)∆ < 0
2°)∆ = 0
3°)∆ > 0
No primeiro caso, não existirá qualquer raiz real e isso no campo dos reais não está definido. E como nosso objeto de estudo só são os números reais então deixamos de lado a parte complexa e encerramos por aqui.
No segundo caso, teremos somente uma raiz, e nesse caso b²=4ac. Neste podemos ver que b² é sempre maior ou igual zero. Na segunda opção(onde é igual a zero) teremos que ou a ou c será zero, mas sendo importante que a difere de zero pois caso contrário não teríamos uma função de segundo grau. Portanto, b = 0 e c=0 teremos f(x)=ax²
No terceiro caso, onde existem duas raizes, teremos b² > 4ac. Então sendo x1 e x2 as raizes do polinômio, teremos que -b/2a estará entre x1 e x2.
Ou seja, se a > 0, então terá concavidade para cima, e f(-b/2a) < 0.
Agora, se a < 0, então terá concavidade para baixo, e f(-b/2a) > 0
Assim, a . f(-b/2a) < 0 se, e somente se existirem raizes reais e distintas.

Não sei se já sanei a dúvida ou se escrevi mais "bobageira", contudo falando um pouco mais abaixo.
1) Se delta for menor que zero, não haverá raizes.
E se a > 0, então f(x) > 0 ---> a . f(x) > 0
E se a < 0, então f(x) < 0 ---> a . f(x) > 0
2) Se delta for zero, então haverá somente uma raiz, isso faz com que:
Se a > 0, então f(x) ≥ 0 ----> a . f(x) ≥ 0
Se a < 0, então f(x) ≤ 0.----> a . f(x) ≤ 0
3) Se delta for maior que zero, haverá duas raizes e não podemos dizer nada sobre o sinal da função, podendo ser negativo ou positivo.
Se a > 0, então f(x) poderá ser negativo entre as raizes ---> a . f(x) < 0 <--> Se x está entre raizes
Se a < 0, então f(x) poderá ser positivo entre as raizes ---> a . f(x) < 0 <--> Se x está entre raizes
Agora, se x não está entre as raizes, o produto será positivo.

Dê uma olhada neste link:
Parábola

Boa tarde, Carlos Adir.

Então, eu estou estudando conjuntos e funções pelo 1º livro da coleção do Aref e lá ele não analisa/trata dos sinais das funções no capítulo de funções, todavia ele trata, sim, dos sinais do binômio ax + b e do trinômio do 2º grau, porém ele faz isso 2 capítulos antes, na parte de inequações e, por isso, não estava tão fresco na minha memória. Ontem, como já digitei em mensagem anterior neste tópico, eu passei quase o dia todo revisando os capítulos de equações e inequações e, como esperado, rever tudo isso me deu uma clareada nas idéias e eu pude começar a entender parte da demonstração, mas não integralmente. Foi quando corri pro 1º livro da coleção Fundamentos da Matemática Elementar, do Iezzi e, lá sim, há um capítulo dedicado somente à função quadrática, melhor e mais organizado e, finalmente, há um item que fala só sobre o sinal dessa função. Agora, até que enfim, eu consegui entender a demonstração dos teoremas, foi duro mas eu cheguei lá, haha.

Muito boa sua explicação, parabéns! Espero que se algum dia ocorra a mesma dúvida a alguém, essa pessoa encontre este tópico para consultar.
Agradeço muito pelo tempo que você dedicou a tentar me ajudar, muito obrigado!

Ah, o link que você postou não está funcionando, mas obrigado de qualquer modo.

Elcioschin escreveu:wololo

a = coeficiente do termo do 2º grau
α = um valor real qualquer de x

Logo, f(α) NÃO é uma função f(α) como você escreveu: f(α) é o valor da função f(x) quando x = α 

Na parábola da esquerda a > 0 pois a concavidade está voltada para cima
Esta função não tem raízes reais (ela não corta ou tangencia o eixo x). Isto significa que, para qualquer valor de x (ou de α), ∆ < 0 e a função f(x) = f(α) é sempre positiva (está sempre acima do eixo x)

Logo ---> a.f(α ) > 0 ---> Isto contraria a hipótese de a.f(α ) < 0

De modo similar, a parábola da direita tem a concavidade voltada para baixo (a < 0). Do mesmo modo, ela NÃO tem raízes reais e é sempre negativa: f(x) = f(α ) < 0

Temos pois ---> a.f(α) > 0 o que também contraria a hipótese

Boa tarde, mestre Elcio.

Bela explicação, concisa e objetiva. Eu já consegui entender o teorema, talvez se eu tivesse acessado este tópico mais cedo eu não precisaria nem ter dado tanta volta revendo alguns capítulos dos livros pelos quais estou estudando.

Muito obrigado pelo seu tempo tentando esclarecer a minha dúvida!