Teorema de Girard-Demonstração

Recentemente,estudando polinômios, me deparei com um Teorema bem interessante de autoria de Albert Girard (1590 – 1633) que simplifica bastante o modo de achar somas de Newton.

O enunciado diz o seguinte:
Teorema de Girard:
"Dividindo-se (utilizando o método algébrico) a derivada de um polinômio P(x) pelo polinômio original, obtém-se um quociente resultado do tipo:





Onde são as somas de Newton."



Demonstração:

Seja P(x) um polinômio de grau n com raízes:

De acordo com o Teorema de D'Alembert, podemos fatorar P(x) como:





Apliquemos a operação "logaritmo neperiano (In)" em ambos os lados da igualdade:





Derivando a equação acima com relação a x:





Dando uma "arrumada" nos termos, temos:





Pode-se perceber que cada parcela do lado direito da igualdade acima se parece muito com uma soma de P.G infinita. Vale relembrar que:





Ora, mas cada parcela da igualdade da Equação III se assemelha bastante com o valor da soma de uma P.G. infinita.





A condição de convergência da P.G. infinita (|q|< 1) é satisfeita, pois:





Ou seja, podemos reescrever a equação III como:





Arrumando:

A demonstração clássica...
Legal.