OMU 2015 -Olimpíada de Matemática da Unicamp

[ltr]Foi observado em laboratório que a quantidade de uma determinada bactéria, num meio de cultura, a cada dia é diretamente proporcional ao número de bactérias do dia anterior mais um número constante de bactérias. Por simplicidade vamos denotar por k a constante de proporcionalidade, por s o número de bactérias somadas a cada dia e por B(1) o número de bactérias no primeiro dia. [/ltr]
[ltr](a) Determine o número de bactérias no quarto dia de cultura, considerando k = 3, s = 4 e B(1) = 10. [/ltr]
[ltr](b) Determine uma expressão, da forma mais simplificada possível, para o número de bactérias no n–ésimo dia de cultura em função de k, s, B(1) e n. [/ltr]

[ltr]OBS: É importante notar que o enunciado ficou meio confuso, pois podemos adotar duas interpretações distintas, abaixo:[/ltr]
[ltr]B(n) = kB(n-1) + s[/ltr]
[ltr]B(n) = k( B(n-1) + s )[/ltr]

(a)  Para o dia 2: 10k+4
Para o dia 3: (10k+4)k +4
Para o dia 4: ((10k+4)k+4)k+4 = 322


(b) Basta observar um padrão ao fazer a distributiva:

B(N)= B(1).K^(N-1)+s.K^(N-2)+s.K^(N-3)...+s.K^(N-(N-1))