Área e volume

Uma indústria produz garrafas plásticas de água com capacidade de 250 mL cada uma para certo cliente. O cliente pediu que essa indústria produzisse outro tipo de garrafa plástica que tivesse o mesmo formato da garrafa anterior, mas que a capacidade fosse de 500 mL. Nessas condições, a quantidade de material plastico utilizado nessa nova garrafa é

a) aproximadamente 26% maior que a antiga.
b) aproximadamente 44% maior que a antiga.
c) 50% maior que a antiga.
d) aproximadamente 59% maior que a antiga.
e) 100% maior que a antiga.


Não sei o gabarito ainda.
Achei essa questão bem estranha porquê não diz qual é o formato do sólido, realmente não sei por onde começar.
Tentei definir que era um cubo, daí ia aumentar 100%, mas acho que 100% não pode ser a resposta! :/

garrafa antiga ---> índice 1
garrafa nova -----> índice 2
Se a garrafa nova tem o mesmo formato da garrafa anterior, então elas são objetos semelhantes e, neste caso, todas as suas dimensões homólogas (ℓ) tem a mesma razão de semelhança. A razão de semelhança foi obtida da relação entre os volumes.

Da geometria, para objetos semelhantes: a razão entre os volumes é o cubo da razão de semelhança; a razão entre as áreas (superfície, para o nosso caso) é o quadrado da razão de semelhança; e a razão entre lados homólogos é a própria -- já afamada -- razão de semelhança.

Esta é a estratégia usada para resolver este exercício.




Detalhe. A questão está supondo o aumento de material tão somente em função do aumento da superfície do objeto, ou seja, o objeto maior terá a mesma espessura do pequeno. Resultado: vai ficar mais frágil.

Vi a solução do Medeiros (mais sintética), mas ainda assim vou colocar o que fiz.
É uma questão difícil, sim.



o material empregado é consumido na área da garrafa







um aumento de 59%.

Euclides,
eu também não costumo desperdiçar trabalho realizado. E sua participação traz as seguintes vantagens: apresenta um outro modo de resolução, o que enriquece o fórum, e corrobora a resposta.

Beatriz..
Realmente não importa o formato do sólido porque qualquer dimensão homóloga -- diâmetro (da base, do gargalo), comprimento, curvatura, cintura, etc. -- deve ter proporção constante entre os dois.

Portanto, também é possível equacionar (e resolver) supondo um cubo.

Muito obrigada aos dois, confesso que a primeiro momento não consegui entender muito bem as respostas, mas a utilização dos exemplos com sólidos tornou a compreensão do exercício algo bem mais fácil. No final eu ainda teria alguma dificuldade em encontrar a resposta devido a presença da raiz cúbica de 4, mas só de aprender a estabelecer essas relações já fico muito feliz. Abraços!