[Resolvido](Unesp) Diagrama das raízes cúbicas de -i

por Carolziiinhaaah Ter 02 Nov 2010, 22:47

O diagrama que melhor representa as raízes cúbicas de -i é:

[Resolvido](Unesp) Diagrama das raízes cúbicas de -i 48556970

gabarito: b)

por DouglasM Qua 03 Nov 2010, 11:17

Bom, basta determinarmos as raízes da equação:

$z^3 + i = 0 \;\therefore\; z^3 = -i \;\therefore\; z^3 = cis\left(\frac{3\pi}{2}+2k.\pi\right)$

Na forma trigonométrica temos as raízes como sendo:

$z = cis\left(\frac{\pi}{2}+\frac{2k.\pi}{3}\right)\;;\;k = 0,1,2 \;\therefore$

$z_1 = cis \left(\frac{\pi}{2} \right ) = i$

$z_2 = cis \left(\frac{7\pi}{6} \right ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$

$z_3 = cis \left(\frac{11\pi}{6} \right ) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$

Evidentemente a alternativa b é a representação adequada dessas raízes.

por **Elcioschin** Qua 03 Nov 2010, 12:13

Usando uma notação diferente do Douglas, para sseu melhor entendimento

z = ³\/(-i) ----> z³ = - i ----> z³ = cos(3pi/2) + i*sen(3pi/2) ---->|z| = 1

z = cos[(3pi/2 + 2kpi)/3] + i*sen[(3pi/2 + 2kpi)/3]

Para k = 0 ----> z1 = cos(pi/2) + i*sen(pi/2) ----> z1 = i -----> 90º

Para k = 1 ----> z2 = cos(7pi/6) + i*sen(7pi/6) -----> - \/3/2 - i/2 -----> 210º

Para k = 2 ----> z3 = cos(11pi/6) + i*sen(11pi/6) -----> \/3/2 - i/2 ----> 330º

por Carolziiinhaaah Qua 03 Nov 2010, 20:06

Obrigada, Douglas e Elcio!
Só não entendi um detalhezinho: como vocês acharam que |z| = 1?

por **Elcioschin** Qui 04 Nov 2010, 08:46

Para z = a + bi -----> |z| = \/(a² + b²)

No problema em questão ----> z = - i -----> a = 0 , b = - 1 ----> |z| = \/[0² +(-1)²] ----> |z| = 1

por Carolziiinhaaah Qui 04 Nov 2010, 18:30

Certo, Elcio! Obrigada ;]

por **Emanoel Mendonça** Ter 25 Jan 2022, 18:08

Elcioschin escreveu:Usando uma notação diferente do Douglas, para sseu melhor entendimento

z = ³\/(-i) ----> z³ = - i ----> z³ = cos(3pi/2) + i*sen(3pi/2) ---->|z| = 1

z = cos[(3pi/2 + 2kpi)/3] + i*sen[(3pi/2 + 2kpi)/3]

Para k = 0 ----> z1 = cos(pi/2) + i*sen(pi/2) ----> z1 = i -----> 90º

Para k = 1 ----> z2 = cos(7pi/6) + i*sen(7pi/6) -----> - \/3/2 - i/2 -----> 210º

Para k = 2 ----> z3 = cos(11pi/6) + i*sen(11pi/6) -----> \/3/2 - i/2 ----> 330º

Boa tarde mestre, não entendi porque você dividiu os ângulos por 3 na segunda linha. Poderia elucidar ? Rolling Eyes

por **Giovana Martins** Ter 25 Jan 2022, 18:14

Oii, Emanoel. Quanto tempo!

É por conta da fórmula de De Moivre.

[latex]\mathrm{2^a\ F\acute{o}rmula\ de\ De\ Moivre:\ \sqrt[n]{z}=z_k=\sqrt[n]{|z|}cis\left ( \frac{\theta }{n}+\frac{2k\pi }{n} \right );k\in \left \{ 0,1,2,...,n-1 \right \}}[/latex]

por **Emanoel Mendonça** Ter 25 Jan 2022, 18:18

Giovana Martins escreveu:
Oii, Emanoel. Quanto tempo!

É por conta da fórmula de De Moivre.

[latex]\mathrm{2^a\ F\acute{o}rmula\ de\ De\ Moivre:\ \sqrt[n]{z}=z_k=\sqrt[n]{|z|}cis\left ( \frac{\theta }{n}+\frac{2k\pi }{n} \right );k\in \left \{ 0,1,2,...,n-1 \right \}}[/latex]

Oiii Meninaaa! Tudo bem contigo ??? hehe
Putz, que vacilo meu, estou com o livro aberto aqui e não vi Embarassed