(PUC-Campinas-SP) Com os elementos do conjunt

por Lauser Sex 07 Ago 2015, 14:36

(PUC-Campinas-SP) Com os elementos do conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} são formados números de três algarismos distintos. A quantidade de números formados cuja soma dos algarismos é um número par é A) 30 D) 60 B) 36 E) 72 C) 52

por **Elcioschin** Sex 07 Ago 2015, 17:44

Total de números somente com algarismos pares = A(3, 3) = 6 ---> 246, 264, 426, 462, 624, 642

Total de números com dois algarismos ímpares e um par = 3.3.A(3, 3) = 54

1, 3, 2 ---> 123, 132, 213
1, 3, 4 ---> 134, 143, 413
1, 3, 6 ---> 136, 163, 613 ---> Total = 9 números

O mesmo vale para (1, 5), (3, 1), (3, 5), (5, 1), (5, 3) ---> 6 casos ---> 9.6 = 54

Total = 6 + 54 = 60

por Lauser Sex 07 Ago 2015, 20:06

Elcioschin escreveu:Total de números somente com algarismos pares = A(3, 3) = 6 ---> 246, 264, 426, 462, 624, 642

Total de números com dois algarismos ímpares e um par = 3.3.A(3, 3) = 54

1, 3, 2 ---> 123, 132, 213
1, 3, 4 ---> 134, 143, 413
1, 3, 6 ---> 136, 163, 613 ---> Total = 9 números

O mesmo vale para (1, 5), (3, 1), (3, 5), (5, 1), (5, 3) ---> 6 casos ---> 9.6 = 54

Total = 6 + 54 = 60

Mestre Elcioschin!

aqui nessa parte como eu faço para entender que a questão é do tipo que 123=321?

1, 3, 2 ---> 123, 132, 213
1, 3, 4 ---> 134, 143, 413
1, 3, 6 ---> 136, 163, 613 ---> Total = 9 números---------------------------

Tem algum modo de eu descobrir esse 9 sem ser escrevendo por extenso

Eu estava fazendo assim
_   _   _ e eu estava multiplicando pela pela permutação de ímpares e pares
3   2   3

Acredito que eu deveria ter feito assim 3!*3/2! só que eu confundo um pouco quando tenho que multiplicar pela permutação e quando tenho que dividir pela permutação. Vc poderia me explica?

por **Elcioschin** Sex 07 Ago 2015, 20:17

Eu mostrei isto na minha solução:

3.3.A(3, 3) = 9.A.(3, 3) = 9.6 = 54

1º três ---> Arranjos de 2 ímpares e 1 par
2º três ---> Quantidade de algarismos pares (2, 4, 6)

Mostrei os números apenas para facilitar o entendimento.

E não existe multiplicação ou divisão pela permutação. Existem as fórmulas de arranjos e combinações:

C(n, p) = n!/p!.(n - p)!

A(n, p) = n!/(n - p)!

Na tua questão é arranjo porque a ordem dos algarismos importa

por IgorRM98 Dom 02 Out 2016, 14:38

#Dúvida:

Na parte: "Total de números com dois algarismos ímpares e um par = 3.3.A(3, 3) = 54", não compreendi o 3.3.A(3,3)... afinal o total de números formados com 2 ímpares e 1 par não seria 18? Pois no conjunto são 6 números, e repartidos 3 ímpares e 3 pares, e os algarismo devem ser distintos entre si. Ou seja eu coincidi como 3x2x3 = 18.

O alguém poderia me ajuda a encontrar meu erro ou esclarecer minha dúvida?

por **Elcioschin** Dom 02 Out 2016, 18:39

Você não pode fazer assim. Veja porque:

Números com 2 algarismos ímpares e 1 par:

a) Algarismos ímpares: 1, 3, 5
b) Eles devem ser escolhidos 2 a 2 ---> São C(3, 2) = 3 possibilidades, pois ainda não interessa a ordem ---> 1,3 ou 1,5 ou 3,5
c) São três algarismos pares, 2, 4, 6 ---> São C(3, 1) = 3 possibilidades
d) Os três algarismos escolhidos devem ser arranjados, pois agora interessa a ordem: A(3, 3) = 6 possibilidades

3.3.6 = 54

por IgorRM98 Dom 02 Out 2016, 20:34

É meio confuso saber quando usar o que, e o pior de tudo... Saber se a lógica, com a qual você interpretou ou enxergou a questão, corresponde a mesma que a questão impôs.

O segredo é muito treino mesmo. Obrigado Elcioschin, pelo esclarecimento, abração.

por **Elcioschin** Dom 02 Out 2016, 22:14

A lógica com a qual eu interpretei a questão levou ao gabarito D) 60
Acho, portanto que corresponde exatamente à mesma que o enunciado impôs

O importante é saber diferenciar combinação de arranjo:

combinação ---> a ordem dos elementos não interessa. Ex.:

Dados 5 letras diferentes, de quantos modos podemos escolher duas delas

C(5, 2) = 5!/2!.(5 - 2)! = 120/2.6 = 10

arranjo ---> a ordem dos elementos interessa. Ex:

Dados os algarismos 1, 2, 3, quantos números podem ser formados.

A(3, 3) = 3!/(3 - 3)! = 6 ---> 123, 132, 213, 231, 312, 321