Probabilidade

(PUC-SP)Um professor de Educação Física convocou um grupo de 12 alunos, 5 dos quais deverão compor um time de basquete. Sabe-se que Duda e Julião fazem parte desse grupo e que todos os alunos convocados jogam em quaisquer posições. Nessas condições, se para a composição do time os alunos serão aleatoriamente sorteados, a probabilidade de que Duda ou Julião façam parte da equipe escolhida é:
 (A) 20/33 (B) 7/11 (C) 15/22 (D) 25/33 (E) 5/6


Bom, a resposta é a letra C

Eu fiz este exercício de duas maneiras:

1) Eu fixei um dos alunos, fiz "Combinação de 11, 4 a 4", multipliquei este resultado por dois (união de eventos), e tirei da combinação total ( "Combinação de 12, 5 a 5" )
Quando eu fiz isso, deu como resposta a letra E

2)Eu fiz o evento oposto, com nenhum dos dois participando do grupo: "Combinação de 10, 5 a 5" sobre o total (Combinação de 12, 5 a 5)
Depois disso , subtraí essa resposta de 1, e deu a alternativa correta, a letra C

A minha dúvida é, porque a primeira maneira deu um resultado errado? Sendo que eu já usei essa mesma "estratégia" para resolução de outros problemas, e deram certos.

Obs: Desculpa a falta de formatação, sou novo no fórum e não sei formatar direito '-'

Ok, vamos por partes.

O jeito mais fácil de resolver esse exercício é o seguinte:

*Espaço amostral: C12,5(combinação de 12 tomados 5 a 5)

*Evento: C12,5 - C10,5 ---> Isso porque se você quer que a equipe tenha Duda OU Julião, essa equipe pode ter só Duda, só Julião ou os dois. Ela só não pode não ter nenhum dos dois. Quantas equipes não tem nenhum dos 2?.... C10,5. 

Se você fizer as contas vai ver que dá a resposta certa, C.

*O erro do primeiro raciocínio é que quando você fixa um dos dois, Duda, por exemplo, e multiplica por C11,4 , você vai estar contando as equipes que tem Duda e Julião, porque ele está incluso nesse grupo de 11, e vai contar as equipes que tem só Duda também.

Se você faz o mesmo com Julião, que foi a sua intenção ao multiplicar por dois, você vai contar todas as equipes que tem Duda e Julião de novo. E lógico que não queremos fazer isso. Para isso ficar certo teríamos que subtrair C10,3, que são todas as equipes que tem Duda e Julião. Assim teríamos contado só 1 vez as equipes só com Duda, só com Julião e com os dois.

2C11,4-C10,3 = C12,5 - C10,5(da minha resolução) = 540

540/C12,5 = 15/22 

Cuidado!! Com Análise Combinatória cada caso é um caso. É um assunto que exige atenção redobrada. Esclareci sua dúvida?

Sim, entendi, muito obrigado mesmo :DD
Eu não tinha percebido que estava contando os grupos com os dois fazendo parte em excesso.
Muito obrigado