área da região

por Ivoski Dom 17 Out 2010, 21:41

A circunferência de raio 1 mostrada na Figura toca a curva y = |2x| duas vezes.
Determine a área da região que se encontra entre as 2 curvas.
desenho:
área da região Desenhotq

por **Elcioschin** Seg 18 Out 2010, 11:24

Seja C o centro da circunferência, P o ponto de tangência à direita e Q o ponto de tangência à esquerda

Trace CP = CQ = 1

Coeficiente angular da reta do 1º quadrante = 2 ---> tgPÔx = 2 ----> tgP^CO = 2

tgP^CO = OO/CP ----> 2 = OP/1 ----> OP = 2

tgPÔx = 2 ----> senPÔX = 2*V5/5 ----> cosPÔX = V5/5

Coordenadas de P -----> xP = OP*cosPÔx -----> xP = 2*V5/5 ----> yP = 4*V5/5 ----> P(2/V5/5, 4*V5/5)

É óbvio que Q(-2*V5/5, - 4*V5/5)

OC² = OP² + PC² -----> OC² = 2² + 1² ----> OC = V5 -----> C(0, V5)

Sejam P, Q' os pontos do eixo X correspondetes aos pontos P e Q.

Área dos triângulos POP' e QOQ' ----> S = OP'*PP'/2 ----> D = (2*V5/5)*(4*V5/5)/2 ----> S = 4/5

Equação da circunferência ----> (x - 0)² + (y - V5)² = 1 ----> x² + (y - V5)² = 1 ----> (y - V5)² = 1 - x²

y - V5 = V(1 - x²) -----> y = V(1 - x²) + V5

Basta agora integrar a função y = -V(1 - x²) + V5 entre os limites - 2*V5/5 e + 2*V5/5 e subtrair 2*S

por Ivoski Seg 18 Out 2010, 18:35

Obrigado pela resposta, mas como integro duas variaveis??????... no caso ali V e x
abraços

por **Euclides** Seg 18 Out 2010, 18:48

Não são duas variáveis a expressão é

$\int -(\sqrt{1-x^2}+5)\,dx$

ou

$-\int\sqrt{1-x^2}\,dx-\int 5\,dx$

por Ivoski Seg 18 Out 2010, 21:55

eu nao entendi esta ultima linha
resolvendo a equação vc chegou a
y = V(1 - x²) + V5

Basta agora integrar a função y = -V(1 - x²) + 5 entre os limites - 2*V5/5 e + 2*V5/5 e subtrair 2*S

pq a função ganhou o sinal negativo e perdeu a raiz no numero 5?

o limite de integração é os x das coordenadas de P e Q?

obrigado!!!!!

por **Euclides** Seg 18 Out 2010, 22:22

A circunferência toda é

$x^2+(y-\sqrt{5})^2=1$

que pode ser vista no gráfico abaixo. O que nos interessa para integrar é apenas o arco em azul, cuja equação é a que contem a raiz negativa

$\\x^2+(y-\sqrt{5})^2=1\,\,\Rightarrow \,\,y=\pm\sqrt{1-x^2}+\sqrt{5}\\\\\fbox{y=-\sqrt{1-x^2}+\sqrt{5}}$

área da região Trikp

por **Elcioschin** Seg 18 Out 2010, 23:24

Ivoski

Na última linha eu esquecí de colocar o símbolo de raiz quadrada: o correto é pois, V5.
Vou editar minha mensagem em vermelho.

Os limites de integração são as abcissas de Q e P conforme vc perguntou.

por **Elcioschin** Ter 19 Out 2010, 08:47

Uma explicação adicional sobre a equação da circunferência y = V(1 - x²) + V5 :

Para uma equação y = f(x) representar uma função é necessário que, para cada valor da abcissa x exista um ÚNICO valor de y.

Note agora que, para uma circunferência como a do desenho, para - 2*V5/5 < x < + 2*V5/5, teremos sempre DOIS valores para y: um na parte vermelha e outro na parte azul.

Logo, a equação acima NÂO representa uma função!!!

Agora vem o macete para transformar esta equação em função

Dividimos a circunferência em duas metades: a metade superior (vermelha) e a metade inferior (azul)
Para cada metade, note agora que, para cada valor de x existe um único valor de y.
Logo tanto a metade vermelha quanto a metade azul SÃO funções
O modo de separar as duas metades é colocar antes da raiz o sinal + (para vermelho) e - (para azul).
No presente problema, a área procurada fica abaixo da metade azul logo devemos considerar y = - V(1 - x²) + V5

Agora sim temos uma função entre os limites mostrados!
Integrando esta função entre os limites mostrados calculamos a área entre a metade inferior da curva e o eixo X.
Subtraindo as áreas dos dois triângulos, teremos a área solicitada no enunciado

por Ivoski Ter 19 Out 2010, 18:24

Perfeitoo...

calculei a integral no wolframalpha
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+-sqrt(+(1-x^2))%2Bsqrt(5)dx+from+x%3D-2sqrt(5)/5+to+2sqrt(5)/5

como deu 2,49285
diminuindo de 2xS
e S = 4/5 => 2 x (4/5) ==> 1,6

entao a area procurada é 2,49285 - 1,6 ===> 0,89285 u.a

é isso?

Este post ficou otimo! abraços