Aritmética

Qual a maior potência de 10 que divide 1.2.3.4. ... .1000
a)10^1000
b)10^500
c)10^498
d)10^250
e)10^249

Gabarito: E

Minha tentativa foi ver todos os 10^n até 1000, e todos os números que terminam em 2 e 5, que originarão o 10, mas não deu certo :/

Podemos perceber que pra verificar a maior potência de 10, basta apenas verificarmos os números tais que sejam multiplos de 2 e de 5.
Mais precisamente, só precisamos saber o de 5, pois os multiplos de 2 são bem mais frequentes que os multiplos de 2.
Então, abaixo os multiplos de 5:
5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, ..., 995, 1000
Agora é verificar quantos multiplos de 5 existem entre 5 e 1000. Deste modo:

Portanto, existem 200 números multiplos de 5.
Contudo, devemos nos atentar às potencias de 5, um exemplo como 25, pois possui 25 = 5².
Ou seja, os 25 devemos contar outra vez:
25, 50, 75, 100, ..., 975, 1000.
Fazendo o mesmo método percebemos que existem 40 números.
Agora, os de 125 = 5³:
125, 250, 375, 500, ..., 875, 1000
E então neste temos 8 números
E 5^4 é o unico entre 5 e 1000. Então:
Potências de 5 na multiplicação 200+40+8+1 =249
Logo, a resposta é 10^(249)

Muito obrigado Adir, não tinha me atentado aos múltiplos de 5² e 5³  :bball: