No triângulo acutângulo ABC, ilustrado na f

por OliviaTate Qui 25 Jun 2015, 09:41

No triângulo acutângulo ABC, ilustrado na figura, o comprimento BC do lado mede √15/5, o ângulo interno de vértice C mede α, e o ângulo interno de vértice B mede α/2. Sabe-se, também, que 2 cos(2α) + 3cos α + 1 = 0 Nessas condições, calcule:
a) o valor de sen α;
b) o comprimento do lado AC.

No triângulo acutângulo ABC, ilustrado na f Mrqlg4

No triângulo acutângulo ABC, ilustrado na f Mrqlg4

A letra 'a' eu consegui resolver tranquilamente... Na letra b eu travei na hora de determinar sen α/2 e sen (180-3α/2)

Gabarito:

por **Carlos Adir** Qui 25 Jun 2015, 10:44

Pra essa questão vamos precisar de:
1°) cos² x + sen² x = 1
2°) 2sen² x = 1 - cos 2x
3°) 2cos² x = 1 + cos 2x
4°) Lei dos senos
5°) Soma de arcos
6°) Resolução de equação de segundo grau.
No triângulo acutângulo ABC, ilustrado na f TSSc1QK

No triângulo acutângulo ABC, ilustrado na f TSSc1QK

$\\ \mathrm{cos \ 2 a = cos^2 \ a - sen^2 \ a = 2cos^2 \ a - 1} \\ \mathrm{ 2 cos \left(2a \right )3cos a 1=0} \\ \mathrm{ 2 \left(2 \cdot cos^2 \ a - 1 \right ) 3 \cdot cos \ a 1=0} \\ \mathrm{4 \cdot cos^2 \ a 3 \cdot cos \ a - 1=0} \\ \mathrm{cos \ a = \dfrac{-3 \pm \sqrt{ (3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1)}}{2 \cdot 4}=\dfrac{-3 \pm 5}{8}} \\ \mathrm{Como \ 0 < a < \dfrac{\pi}{2} \Rightarrow cos \ a = \dfrac{1}{4} \Rightarrow sen \ \alpha = \dfrac{\sqrt{15}}{4}}$
Podemos usar as relações:
$\\ \mathrm{cos^2 \ x=\dfrac{1+cos \ 2x}{2}} \\ \mathrm{sen^2 \ x = \dfrac{1-cos \ 2x}{2}}$
Utilizando isso, obtemos:
$\mathrm{sen^2 \ \dfrac{a}{2}=\dfrac{1- \left(\dfrac{1}{4} \right )}{2}=\dfrac{3}{8} \Rightarrow sen \ \dfrac{a}{2} = \dfrac{\sqrt{6}}{4}}$
Agora, para descobrir o seno de (180°-3a/2):
$\\ \mathrm{sen \left(\pi - \dfrac{3a}{2} \right ) = sen \left(\dfrac{3a}{2} \right )=sen \left(a+\dfrac{a}{2} \right )=sen \ a \cdot cos \ \dfrac{a}{2}+sen \ \dfrac{a}{2} \cdot cos \ a=} \\ \mathrm{=\dfrac{\sqrt{15}}{4} \cdot \dfrac{\sqrt{10}}{4}+\dfrac{\sqrt{6}}{4} \cdot \dfrac{1}{4}=\dfrac{5\sqrt{6}}{16}}$
Agora, pela lei dos senos:
$\\ \mathrm{\dfrac{\overline{BC}}{sen \left(\pi - \dfrac{3a}{2} \right )}=\dfrac{\overline{AB}}{sen \left(a \right )}=\dfrac{\overline{AC}}{sen \left(\dfrac{a}{2} \right )}} \\ \Rightarrow \mathrm{\overline{AC}=\overline{BC} \cdot \dfrac{sen \left(\dfrac{a}{2} \right )}{sen \left(\pi - \dfrac{3a}{2} \right )}=\dfrac{\sqrt{15}}{5} \cdot \dfrac{\left(\dfrac{\sqrt{6}}{4} \right )}{\left(\dfrac{5\sqrt{6}}{16} \right )}} \\ \mathrm{\overline{AC}=\dfrac{\sqrt{15}}{5} \cdot \dfrac{16}{4 \cdot 5}=\dfrac{4\sqrt{15}}{25} \approx 0,62}$

Deu bastante longo, não sei outra maneira mais rápida. Questão para calculistas Neutral

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