Trabalhando com parábolas

Determinar:

o vértice, a equação reduzida da parábola, a equação do eixo de simetria, a equação da diretriz e esboçar o gráfico, da parábola 20y - x² + 2x + 39 = 0.

Quanto a parábola acima, determine o valor de x para o qual y assume o valor máximo ou mínimo.

Tenho muita dificuldade nesse tipo de exercício.. acredito que alguém possa me ajudar!

Atenciosamente,

Pietro di Bernadone

Equações da parábola ----> y = ax² + bx + c

Coordenadas do vértice ----> V(xV, yV)

Equação do eio de simetria ----> x = xV

Equação da diretriz ----> y = yV - 1/4a

Vamos agora ao seu problema:

20y - x² + 2x + 39 = 0 -----> 20y = x² - 2x - 39 ----> y = (1/20)*x² - (1/10)*x - 39/20

xV = - b/2a ----> xV = - (-1/10)/2*(1/20) ----> xV = - 1

yV = (1/20)*(-1)² - (1/10)*(-1) - 39/20 ----> yV = 1/20 + 1/10 - 39/20 ----> yV = - 9/5

Vértice ----> V(-1, -9/5)

Eixo de simetria -----> x = - 1

Deretriz ----> y = - 9/5 - 1/4*(1/20) ----> y = - 9/5 - 5 -----> y = - 34/5

Deixo para vc desenhar o gráfico

Olá Elcio!

Meu caro, a explicação foi excelente!!!

Ficou apenas duas dúvidas (bem simples), vamos a elas:

--> Quanto ao eixo de simetria: Por que x = xV ? Sempre vai ser isso mesmo?

--> Por que a equação da diretriz é escrita dessa forma: y = yV - 1/4a ?

Elcio, quanto a parte que pede para determine o valor de x para o qual y assume o valor máximo ou mínimo, o que seria?

Certo de sua atenção,

Pietro di Bernadone

1) O eixo de simetria é a reta passando pelo vértice V e pelo foco F da parábola

Se a parábola for do tipo y = ax² + bx + c o eixo de simetria é a reta x = xV = - b/2a

Se a parábola for do tipo x = ay² + by + c o eixo de simetria é a reta y = yV = - b/2a


2) Quanto à sua dúvida sobre a equação da diretriz fica um pouco complicado explicar aqui. Sugiro que você dê uma estudada no assunto: Cônicas - Elipse, Parábola e Hipérbole - Definição - Equação

3) Quanto ao valor de x que torna máximo o valor de y:

A parabola y = ax² + bx + c tem um vértice V(xV, yV).

Se a > 0 a parábola tem a concavidade voltada para cima. Neste caso o vértice é o ponto onde a parábola tem o seu valor MÍNIMO. A abcissa xV corresponde ao valor mínimo da ordenada yV.

Se a > 0 acontece o oposto, com a concavidade voltada para baixo. No vértice a abcissa xV corresponde ao valor MÁXIMO da ordenada yV.

Olá Elcio,

Vamos ver se entendi..

No caso em questão, a parábola tem concavidade voltada para cima (pois a > 0).

Logo, -1 (xV) corresponde ao valor mínimo de -9/5 (yV).

É isso mesmo?

Certo de sua atenção,

Pietro

Está certo sim Pietro.

Repito a sugestão de você dar uma lida na teoria sobre cônicas, para, ao invés de decorar as fórmulas que eu mostrei, entender como estas fórmulas foram demonstradas.

Assim fazendo , você terá uma base sólida da teoria, entendendo o porquê das fórmulas.