Resolver a equação

por OliviaTate Ter 16 Jun 2015, 04:32

$2 cos^{2}x - (\sqrt{3}+\sqrt{2}) cos x +\frac{\sqrt{6}}{2}=0$

Gabarito:

por **Carlos Adir** Ter 16 Jun 2015, 10:51

$\\ \mathrm{2 \cdot cos^2 \ x - \left(\sqrt{3}+\sqrt{2} \right ) \cdot cos \ x + \dfrac{\sqrt{6}}{2}=0} \\ \mathrm{\Delta = \left(\sqrt{3}+\sqrt{2} \right )^2 - 4 \cdot 2 \cdot \dfrac{\sqrt{6}}{2}=\left(\sqrt{3}-\sqrt{2} \right )^2} \\ \mathrm{cos \ x = \dfrac{ \left(\sqrt{3}+\sqrt{2} \right ) \pm \left(\sqrt{3}-\sqrt{2} \right )}{2 \cdot 2}} \\ \mathrm{cos \ x = \dfrac{\sqrt{3} \left(1 \pm 1 \right ) + \sqrt{2} \left(1 \mp 1 \right )}{4}} \\ \mathrm{cos \ x_1 = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow x_1 = \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi \ ou \ x_1=\dfrac{7\pi}{4}+2k\pi} \\ \mathrm{cos \ x_2 = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow x_2 = \dfrac{\pi}{6}+2k\pi \ ou \ x_2 = \dfrac{11 \pi}{6} + 2k\pi}$
Portanto, temos 4 soluções para cada arco que pegarmos.
Podemos reescrever a solução como:
$\\ \mathrm{cos \ x_1 = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow x_1 = \pm \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi; \ \ \ k \in \mathbb{Z}} \\ \mathrm{cos \ x_2 = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow x_2 = \pm \dfrac{\pi}{6}+2k\pi; \ \ \ k \in \mathbb{Z}}$
Que é a mesma do gabarito.

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