Analise de polinômio com derivadas

Achar o ponto de inflexão, o máximo e minimo do polinômio.

tenho duvida em como proceder, tenho em mente que em um polinômio de 3º grau eu uso a primeira derivada(2ºgrau), e a segunda derivada(1ºGrau) para poder analisar o polinômio.
em caso de grau maior eu também utilizo como no caso do problema a primeira derivada(4ºgrau) e a segunda derivada (3ºgrau ) ?

estou com bastante duvida em relação a isso, acredito que com a resolução desse problema da para entender melhor

obrigado desde já

f'(x) = 20x^4 - 32x^3 - 15x^2 + 20x + 1

Fazendo f'(x) = 0 encontramos: 
x = 0.8
x = -0.05
x = 0.77
x = 1.68

Fazendo o estudo do sinal para a 1º derivada nos seguintes intervalos:
x < -0,05
- 0,05 < x < 0,77
0,77 < x < 0,8
0,8 < x < 1,68
x > 1,68

OBS: Se f'(x) for positivo em um intervalo [a, b], f(x) é crescente nesse intervalo.
Se f'(x) negativo, f(x) descrescente.

tem-se que:

f(x) é crescente nos intervalos:
(-infinito ; -0,8]
(-0.05 ; 0,77]
(1,68 ; +infinito]

e decrescente em:
(-0,8 ; -0,05]
(0,77 ; 1,68]

 - Estudo da 2º derivada:

f''(x) = 80x^3 - 96x^2 - 30x + 20

fazendo f''(x) = 0
x = -0,51
x = 0,36
x = 1,34

analisando f'' nos intervalos:
x < -0,51
0,51 < x < 0,36
0,36 < x < 1,34
x > 1,34

f(x) é concava para cima em
( -infinito ; 0,36]
(1,34 ; + infinito)

f(x) é concâva para baixo em
(-0,36 ; 1,34)

Agora basta extrair dái os pontos de máximo mínimo e inflexão.

Moral da história: Independente do grau do polinômio, a 1º e 2º derivadas sempre te darão as mesmas informações(Concavidade e intervalos de crescimento e decrescimento).