Primitiva do produto de uma integrada

por *bebelo34 Qua 27 maio 2015, 13:51

1) Prove que:
Seja f uma função contínua no intervalo I,se f' (x) = 0 em todo x interior a I, então existirá uma constante k tal que f (x) = k para todo x em I.

por **Fito42** Qua 27 maio 2015, 22:25

Podemos resolver usando o Teorema do Valor Médio para Derivadas (e, por extensão, para integrais):
Vamos supor que f(x) = g(x) - h(x)
E supondo que a<=c<=b:
f(b) = g(b) - h(b)
f(c) = g(c) - h(c)
f(a) = g(a) - h(a)
Do TVM:
f'(c) = f(b)-f(a)/(b-a)
f'(c) = 0 (nula em todo o intervalo) =
g(b) - h(b) - g(a) + h(a) / (b-a) = 0
g(b) - h(b) - g(a) + h(a) = 0
g(b) - h(b) = g(a) - h(a)
f(b) = f(a)
Então
f(a) = f(c) = f(b)
Portanto f(x) é cte.
f(x) = k

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