P.A de ângulos

As medidas dos lados de um triângulo estão em P.A e o maior dos angulos é o dobro do menor. A razão entre os lados é:

Resposta:4:5:6

Seja ABC o triângulo e AB = c, AC = b, BC = a, tal que c < b < a

PA: c, b, a ---> 2b = a + c ---> I

Seja BÂC = 2x e A^CB = x ---> A^BC = 180º - 3x

Lei dos senos:

Depois substitua em I e calcule senx

E finalmente calcule a, b, c

AB/senA^CB = AC/senA^BC = BC/senBÂC

c /senx = b/sen(180º - 3x) = a/sen(2x)

c/senx = b/sen(3x) = 1/sen(2x)

Calcule sen2x e sen(3x) e calcule a, b em função de c, x

(a - r , a , a+r )
ângulos -> x, 2x e (180 - 3x)
o angulo maior é sempre oposto ao lado maior e o menor ao lado menor
angulo oposto ao a-r => x
angulo oposto ao a+r => 2x
angulo oposto ao a => 180 - 3x
lei dos senos 

a-r / senx = a+r/sen2x
a-r/senx = a+r/2senx . cosx
2(a-r) = a+r/cosx
cosx = (a+r) /2(a-r)

lei dos cossenos em a - r
(a-r)² = a² + (a+r)² -2a(a+r)cosx
(a-r)² - (a+r)² = a² -2a(a+r)²/2(a-r)
(2a)(-2r) = a² - a(a+r)²/(a-r)
-4r = a - (a+r)²/(a-r)
a + 4r = (a+r)²/(a-r)
(a+4r)(a-r) = (a+r)²
a² - ar + 4ar -4r² = a² + 2ar + r²
3ar - 4r² = 2ar + r²
3a - 4r = 2a +r
a = 5r
 
nova PA => ( 4r , 5r , 6r)
razão entre os lados -> 4, 5 e 6

*qualquer valor de r satisfará as condições do problema

quando ia postar o mestre postou, mas pra não perder tudo né...